指数方程式とその解き方

指数方程式とは、$2^x=16$ のように、指数に未知変数 $x$ が含まれるような方程式のことです。

指数方程式の意味と、いろいろな指数方程式の解き方を解説します。簡単な指数方程式から、底が異なる場合、連立方程式まで順番に説明します。

指数方程式とは

指数方程式とは、指数に未知変数 $x$ が含まれるような方程式のことです。

指数方程式の例としては、
$2^x=16$
$9^x-8\cdot 3^x-9=0$
$2^x=5^{x-1}$
などが挙げられます。

指数方程式は「指数関数を含む方程式」と言うこともできます。

指数方程式 $a^x=b$

まずは、$a^x=b$ というタイプの指数方程式について解説します。

$2^x=16$ を解いてみましょう。

$16=2^4$ なので、方程式は
$2^x=2^4$
と書くことができます。よって、$x=4$ が答えです。

このように、指数方程式を $a^x=a^c$ という形にできれば、$x=c$ が答えになります。

置換を使う指数方程式

$9^x-8\cdot 3^x-9=0$ を解いてみましょう。

まず、$3^x=X$ と置換します。すると、
$9^x=X^2$ になるので、与えられた方程式は
$X^2-8X-9=0$
となります。これは二次方程式なので、因数分解して解くと、
$(X-9)(X+1)=0$
$X=9,-1$
となります。つまり、
$3^x=9$ または $3^x=-1$ を満たす $x$ を求めればOKです。
$3^x=9$ を変形すると $3^x=3^2$ なので、$x=2$ が答えです。一方、$3^x$ は必ず正なので、$3^x=-1$ を満たす $x$ は存在しません。

よって、$x=2$ のみが答えになります。

このように、多くの指数方程式は、$a^x=X$ と置き換えれば、二次方程式や三次方程式に帰着することができます。

底が異なる場合

$2^x=5^{x-1}$ を解いてみましょう。

この指数方程式は、$2^x=X$ などと置換してもきれいな二次方程式にはなりません。そこで、両辺の常用対数をとってみます:
$x\log_{10}2=(x-1)\log_{10}5$
これを移項して $x$ について解くと、
$x\log_{10}2-x\log_{10}5=-\log_{10}5$
$x=-\dfrac{\log_{10}5}{\log_{10}2-\log_{10}5}$
となります。

これでも正解ですし、
$x=\dfrac{\log_{10}5}{\log_{10}2.5}$
のように変形することもできます。

連立方程式

$\begin{eqnarray}\begin{cases}2^x-7\cdot 3^y=1\\2^x+2\cdot 3^y=10\end{cases}\end{eqnarray}$
を解いてみましょう。

指数方程式が連立されている場合でも $a^x=X,b^y=Y$ のようにうまく置き換えることで、普通の一次の連立方程式になることが多いです。

この場合、$2^x=X,3^y=Y$ とおくと、
$\begin{eqnarray}\begin{cases}X-7Y=1\\X+2Y=10\end{cases}\end{eqnarray}$
となります。この連立方程式を解くと、$X=8,Y=1$ となります。さらに、置き換えをもとに戻すと、
$2^x=8,3^y=1$ なので、$x=3,y=0$ が答えになります。

次回は 対数計算の公式一覧(基礎5個+発展4個) を解説します。

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