和の記号シグマの意味と計算方法

多くのものの足し算を簡潔に表すための記号であるシグマ（$\Sigma$）について、意味と計算方法を解説します。

$\Sigma$ の意味

例えば、
$a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7$
と書くのはめんどうなので、
$\displaystyle\sum_{k=1}^7a_k$
と書きます。

他にも、
$\displaystyle\sum_{k=3}^8a_k$
は $a_3+a_4+a_5+a_6+a_7+a_8$ のことです。

$\displaystyle\sum_{k=1}^nk^2$
は $1^2+2^2+3^2+4^2+\cdots +n^2$ のことです。

きちんと言うと、$\Sigma$ の意味は、
$\Sigma$ の下側にある数字から、上側にある数字までを、右側の式に順に代入して足し上げていったもの
です。

$\Sigma$ を使えば、たくさんの足し算をシンプルに表すことができます。

$\Sigma$ 計算の例題

計算のための公式は例題の解答の後ろにあります。

足し算のシグマはばらせる（→公式１）ので、
$\displaystyle\sum_{k=1}^n(2k^2+3k-4)\\
=\displaystyle\sum_{k=1}^n(2k^2)+\sum_{k=1}^n(3k)+\sum_{k=1}^n(-4)$

さらに、定数倍は前に出る（→公式２）ので、上の式は、
$2\displaystyle\sum_{k=1}^nk^2+3\sum_{k=1}^nk+(-4)\sum_{k=1}^n 1$

これに公式３～５までを使うと、
$2\times \dfrac{1}{6}n(n+1)(2n+1)\\
+3\times\dfrac{1}{2}n(n+1)+(-4)\times n$

あとはこの式を計算していくと、
$\dfrac{1}{3}n(n+1)(2n+1)+\dfrac{3}{2}n(n+1)-4n\\
=n\left\{\dfrac{1}{3}(2n^2+3n+1)+\dfrac{3}{2}(n+1)-4\right\}\\
=\dfrac{1}{6}n\left\{(4n^2+6n+2)+(9n+9)-24\right\}$
$=\dfrac{1}{6}n(4n^2+15n-13)$

$\Sigma$ の計算をするための公式6個

公式１：
足し算のシグマはシグマの足し算にばらせる。例えば、
$\displaystyle\sum_{k=1}^n(k^2+k)=\displaystyle\sum_{k=1}^nk^2+\displaystyle\sum_{k=1}^nk$

公式２：
定数倍はシグマの前に出せる。例えば、
$\displaystyle\sum_{k=1}^n{2k^2}=2\displaystyle\sum_{k=1}^nk^2$

公式３：
$\displaystyle\sum_{k=1}^n1=n$

公式４：
$\displaystyle\sum_{k=1}^nk=\dfrac{1}{2}n(n+1)$
関連：1からnまでの和を求める公式

公式５：
$\displaystyle\sum_{k=1}^nk^2=\dfrac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$

公式６（発展）：
$\displaystyle\sum_{k=1}^nk^3=\dfrac{1}{4}n^2(n+1)^2$

ちなみに、$\Sigma$ はギリシャ文字で、シグマと読みます。

次回は 二乗の和（Σk^2）の公式の２通りの証明 を解説します。