三次方程式の解と係数の関係と頻出問題

解と係数の関係の頻出問題

例題

三次方程式 $2x^3+4x^2+6x-3=0$ の解を $\alpha,\beta,\gamma$ とおくとき、
(1) $\alpha+\beta+\gamma$ および $\alpha\beta\gamma$ を計算せよ。
(2) $\alpha^2+\beta^2+\gamma^2$ を計算せよ。

解答

(1) 三次方程式の解と係数の関係より、
$\alpha+\beta+\gamma=-\dfrac{4}{2}=-2$
$\alpha\beta\gamma=-\dfrac{-3}{2}=\dfrac{3}{2}$
となることが分かります。

(2) 解と係数の関係で分かるのは上の2つと、
$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=\dfrac{6}{2}=3$
です。ここから $\alpha^2+\beta^2+\gamma^2$ を計算するには、
$(\alpha+\beta+\gamma)^2\\
=\alpha^2+\beta^2+\gamma^2\\
+2(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)$
という公式を使います。→(a+b+c)^2、(a+b+c)^3の展開公式

上の公式に今までの結果を代入すると、
$(-2)^2=\alpha^2+\beta^2+\gamma^2+2\cdot 3$
よって、
$\alpha^2+\beta^2+\gamma^2=4-6=-2$
となります。

解と係数の関係の証明

三次方程式 $ax^3+bx^2+cx+d=0$ の解を $\alpha,\beta,\gamma$ とおきます（実数解でも虚数解でもよい、重複していてもよい）。

因数定理より、
$ax^3+bx^2+cx+d\\
=a(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)$
となることが分かります。

この式の右辺を展開（→式の展開（やり方、公式、ツール））すると、
$a(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)\\
=\{ax^2-a(\alpha+\beta)x+a\alpha\beta\}(x-\gamma)\\
=ax^3-a(\alpha+\beta+\gamma)x^2\\
+a(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)x-a\alpha\beta\gamma$
となります。

$x^2$ の係数を比較すると、
$b=-a(\alpha+\beta+\gamma)$ なので、
$\alpha+\beta+\gamma=-\dfrac{b}{a}$
が分かります。

$x$ の係数を比較すると、
$c=a(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)$ なので、
$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=\dfrac{c}{a}$
が分かります。

定数項を比較すると、
$d=-a\alpha\beta\gamma$ なので、
$\alpha\beta\gamma=-\dfrac{d}{a}$
が分かります。

次回は 二分法の意味と平方根を計算する例 を解説します。