(a+b+c)^2、(a+b+c)^3の展開公式

[1] $(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca$
[2] $(a+b+c)^3=a^3+b^3+c^3$
$+3a^2b+3ab^2+3b^2c+3bc^2+3a^2c+3ac^2+6abc$

項が $3$ つある式のべき乗の展開公式(乗法公式)について、練習問題と証明です。[1] は中学数学でも習いますが、[2] はかなり発展的な公式です。

練習問題

以下の式を展開せよ:
(1) $(x+y+2z)^2$
(2) $(2a-3b+1)^3$(発展)

解答

(1) 公式 [1] を使います($a\to x$、$b\to y$、$c\to 2z$ として使う)。
$(x+y+2z)^2\\
=x^2+y^2+(2z)^2\\\:\:+2xy+2y(2z)+2(2z)x$
$=x^2+y^2+4z^2+2xy+4yz+4zx$

(2) 公式 [2] を使います($a\to 2a$、$b\to -3b$、$c\to 1$ として使う。
$(2a-3b+1)^3$
$=8a^3-27b^3+1\\-36a^2b+54b+27b^2-9b+12a^2+6a\\-36ab$

公式の証明

一つずつ頑張って展開してみましょう。

[1] $(a+b+c)^2$$=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca$ の証明
$(a+b+c)^2=(a+b+c)(a+b+c)\\
=a(a+b+c)+b(a+b+c)+c(a+b+c)\\
=a^2+ab+ac+ab+b^2+bc+ac+bc+c^2\\
=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca$

ちなみにこの公式は三次方程式の解と係数の関係を使った問題で頻出です。→三次方程式の解と係数の関係と頻出問題

関連:輪環の順の読み方、意味、考察

[2] $(a+b+c)^3$ の展開公式の証明
[1] の結果を使います。
$(a+b+c)^3=(a+b+c)(a+b+c)^2\\
=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca)\\
=a(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca)\\
+b(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca)\\
+c(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca)\\
=a^3+ab^2+ac^2+2a^2b+2abc+2a^2c\\
+a^2b+b^3+bc^2+2ab^2+2b^2c+2abc\\
+a^2c+b^2c+c^3+2abc+2bc^2+2ac^2\\
=a^3+b^3+c^3+3a^2b+3ab^2+3b^2c\\+3bc^2+3a^2c+3ac^2+6abc$

ちなみに、二項定理を拡張した多項定理というものを用いればもっと楽に証明することもできます。

次:因数分解を自動で計算してくれるツール
前:式の展開(やり方、公式、ツール)

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