坂道の勾配に関する計算(角度、高さ、水平距離などの関係)

坂道の勾配の定義

$100$ メートル水平に移動した時に高さが $h$ メートル上がる(または下がる)ような坂のことを勾配 $h$ パーセントの坂、と言います。勾配が大きいほど傾斜がきつい坂です。

坂道の勾配に関して、いろいろな量の計算の方法を説明します。

勾配を計算する

$20$ メートル水平に移動した時に高さが $2$ メートル上がるような坂の勾配を計算してみましょう。
坂道の勾配を計算する

この坂道について、$100$ メートル水平に移動した時に、高さが $h$ メートル上がるとしましょう。すると、
$20:2=100:h$
となります。これを解くと、
$20h=200$
つまり、$h=10$ となります。

すなわち、勾配 $10$ パーセントの坂道です。

勾配から角度を計算する

勾配 $10$ パーセントの坂道の角度を計算してみましょう。
角度の計算

この角度を $\theta$ とおくと、タンジェントの定義より、
$\tan\theta=\dfrac{10}{100}=0.1$
になります。

これを、以下の方法のいずれかで求めると、$\theta\fallingdotseq 5.7^{\circ}$ になります。
・三角関数表を見る
・関数電卓などで $\mathrm{Arctan}\:0.1$ を計算する。
関連:arctanの意味、微分、不定積分

高さを計算する

勾配 $5$ パーセントの坂道を水平方向に $40$ メートルのぼったとき、高さはどれだけ上がるか計算してみましょう。
水平距離と高さと斜めの距離の関係

勾配 $5$ パーセントの坂を $100$ メートル水平方向に進むと $5$ メートル高くなります。
$40$ メートルは $100$ メートルの $\dfrac{40}{100}$ なので、$40$ メートル水平方向に移動した時に上がる高さは
$5\times\dfrac{40}{100}=2$
メートルとなります。

斜辺(斜めの距離)を計算する

勾配 $5$ パーセントの坂を水平方向に $40$ メートル移動するときに実際に移動する斜めの距離を計算してみましょう。
水平距離と高さと斜めの距離の関係

$40$ メートル水平方向に移動した時に上がる高さは、先ほど計算したように、
$2$ メートルです。
よって、三平方の定理より、斜めの距離 を $l$ とすると、
$l^2=40^2+2^2$
です。計算していくと、
$l^2=1604$
$l\fallingdotseq 40.05$
つまり、斜めの距離は $40$ メートル $5$ センチくらいです。

ほぼ水平方向の距離と同じになります。

次回は 自由落下における距離と時間と速さの関係 を解説します。

スポンサーリンク

スポンサーリンク

学校では教えてくれない点数アップ5つの作戦
具体例で学ぶ数学の作成者が、数学の勉強法について徹底的にまとめました。

誤植がございましたら @mathwordsnet までご連絡をお願いいたします。
ページ上部へ戻る