オイラーの公式e^πi=-1の意味と証明

オイラーの公式の意味と証明を、高校生でも雰囲気が理解できるように解説します。

オイラーの公式の意味

・$\pi$ は円周率です。およそ $3.14$ です。算数以来おなじみの重要な定数です。

・$e$ はネイピア数です。およそ $2.718$ です。高校数学で習う重要な定数です。
ネイピア数（自然対数の底）の意味と、重要である理由

・$i$ は虚数単位です。$i^2=-1$ です。高校数学で習う、基本的な複素数です。

そもそも $e$ の複素数乗とは？

$e^x$ は、$x$ が実数のときには高校数学でおなじみの指数関数です。では、$x$ が複素数の場合についてはどのように定義されるのでしょうか？ $e^{\pi i}$ とは何者なのでしょうか？

実は、全ての実数に対して
$e^x=1+x+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^3}{3!}+\cdots$
が成立することが知られています。
（この式の雰囲気はテイラー展開の難しい式の意味を分かりやすく説明に記載しています）

そこで、$x$ が複素数の場合についても、
$1+x+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^3}{3!}+\cdots$
という極限の収束先となる複素数を $e^x$ と定義します。
（実際、全ての複素数 $x$ に対して、上式は収束することが知られています）

すなわち、オイラーの公式は、$e^{\pi i}$、つまり、
$1+(\pi i)+\dfrac{(\pi i)^2}{2!}+\dfrac{(\pi i)^3}{3!}+\cdots$
という得体の知れない複素数が、実は $-1$ と一致する
という驚くべき公式なのです。

オイラーの公式の証明

$\cos x$ および $\sin x$ のテイラー展開から、全ての実数 $x$ に対して以下の２つの公式が成立することが分かります：

$\sin x=x-\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^5}{5!}-\cdots$
$\cos x=1-\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^4}{4!}-\cdots$

よって、上側の式を $i$ 倍して下側の式に加えると、
$\cos x+i\sin x\\
=1+ix+\dfrac{(ix)^2}{2!}+\dfrac{(ix)^3}{3!}+\dots$
となります。

この式の右辺は、$e^{ix}$ に他なりません。

つまり、
$e^{ix}=\cos x+i\sin x$
が成立します。この式のことをオイラーの公式と呼ぶこともあります。

この式は、全ての実数 $x$ について成立するので、$x=\pi$ を代入すると、
$e^{\pi i}=\cos \pi +i\sin \pi=-1$
となります。

証明の途中で三角関数が登場したのも面白いですね。

次回は 極限の基本的な公式、考え方一覧 を解説します。