極限の基本的な公式、考え方一覧

極限の公式一覧

1:$\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x}=1$
教科書に載っている非常に基本的な公式です。三角関数の極限はほぼこの公式がもとになっています。

2:$\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\tan x}{x}=1$
公式1から簡単に導けるので必ずしも覚えなくてもよいです。

3:$\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{1-\cos x}{x^2}=\dfrac{1}{2}$
分母分子に $(1+\cos x)$ をかけて公式1を使うと証明できます。

4:$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\left(1+\dfrac{1}{x}\right)^x=e$
非常に重要。ネイピア数の定義となる式です。→ネイピア数(自然対数の底)の意味と、重要である理由

5:$\displaystyle\lim_{y\to 0}\left(1+y\right)^{\frac{1}{y}}=e$
公式4で $x=\dfrac{1}{y}$ と置くと導けます。

6:$\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{e^x-1}{x}=1$
公式4から導けますが、覚えておいた方がよいです。

7:$\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\log(1+x)}{x}=1$
同じく公式4から導けますが、覚えておいた方がよいです。

極限の考え方一覧

8:指数関数はどんな多項式よりも強い
例:$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{e^x}{x^{100}}=\infty$

9:対数関数はどんな多項式よりも弱い
例:$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{\log x}{x}=0$

8と9の詳細、および関連する他の公式についてx/e^x、x^2/e^xなどの極限の公式と証明で解説しています。

10:階乗はどんな指数関数よりも強い
例:$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{n!}{100^n}=\infty$

11:微分の定義式 $\displaystyle\lim_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}=f'(x)$
例えば公式6は微分の定義式の形をしています。

12:分子を有理化するとうまくいくことがある
次:分子の有理化と極限の問題
前:ネイピア数(自然対数の底)の意味と、重要である理由

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