三角形の内心の証明と頻出例題2問

三角形において、3つの角の二等分線は一点で交わる。この点を三角形の内心と言う。

~目次~
・内心の証明
・角度を求める問題
・辺の比を求める問題

内心の証明

$\angle A$ と $\angle B$ の二等分線の交点を $I$ とします。このとき $CI$ が $\angle C$ の二等分線になっていることを証明します。

内心の性質の証明

$I$ から各辺に垂線を下ろし、その足を $D,E,F$ とします。
三角形 $AIF$ と $AIE$ は(直角三角形で斜辺と他の1つの角がそれぞれ等しいので)合同です。よって、$IE=IF$ です。同様に、$ID=IF$ も分かります。
よって、$ID=IE$ です。

したがって、三角形 $CID$ と $CIE$ は(直角三角形で斜辺と他の1つの辺がそれぞれ等しいので)合同です。つまり、$CI$ は $\angle C$ の二等分線です。

角度を求める問題

内心の角度を求める

例題1:三角形 $ABC$ の内心を $I$ とする。$\angle A=70^{\circ}$ であるとき角度 $x$ を求めよ。

解答

$BI$ は角の二等分線なので、$\angle ABI=\angle CBI$
$CI$ も角の二等分線なので、$\angle ACI=\angle BCI$
よって、
$\angle ABC+\angle ACB=2(\angle CBI+\angle BCI)$

一方、$\angle A=70^{\circ}$ なので、
$\angle ABC+\angle ACB=180^{\circ}-70^{\circ}=110^{\circ}$

以上2つの結果から、
$\angle CBI+\angle BCI=\dfrac{1}{2}\cdot 110^{\circ}=55^{\circ}$

よって、三角形 $IBC$ の内角の和は $180^{\circ}$ なので、
$x+55^{\circ}=180^{\circ}$

よって、$x=125^{\circ}$

辺の比を求める問題

内心と辺の比

例題2:$AB=4$、$AC=5$、$BC=6$ とする。このとき $BD:DC$ を求めよ。また、$AI:ID$ を求めよ($I$ は内心)。

解答

$AI$ は角の二等分線なので、角の二等分線定理より
$BD:DC=AB:AC=4:5$
参考:角の二等分線定理(内角、外角それぞれ)

よって、$BD=\dfrac{4}{4+5}BC=\dfrac{4}{9}\times 6=\dfrac{8}{3}$

次に、$BI$ も角の二等分線なので、角の二等分線定理より
$AI:ID=AB:BD\\
=4:\dfrac{8}{3}\\
=12:8\\
=3:2$
となる。

次:「30°、60°、90°」と「45°、45°、90°」の直角三角形の辺の比
前:チェバの定理の覚え方、例題、証明、逆

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