正多角形の内角と外角の大きさ

正 $n$ 角形の
内角の大きさは $\dfrac{180(n-2)}{n}$

外角の大きさは $\dfrac{360}{n}$

図形 内角 外角
正三角形 $60^{\circ}$ $120^{\circ}$
正方形 $90^{\circ}$ $90^{\circ}$
正五角形 $108^{\circ}$ $72^{\circ}$
正六角形 $120^{\circ}$ $60^{\circ}$
正七角形 約 $129^{\circ}$ 約 $51^{\circ}$
正八角形 $135^{\circ}$ $45^{\circ}$

具体例

例題:正三角形と正五角形の内角と外角の大きさをそれぞれ求めよ。

~内角~
正三角形の内角の大きさは、$n=3$ とすると、
$\dfrac{180(3-2)}{3}=\dfrac{180}{3}=60^{\circ}$

正五角形の内角の大きさは、$n=5$ とすると、
$\dfrac{180(5-2)}{5}=\dfrac{540}{5}=108^{\circ}$

正多角形の内角と外角

~外角~
正三角形の外角の大きさは、$\dfrac{360}{3}=120^{\circ}$

正五角形の外角の大きさは、$\dfrac{360}{5}=72^{\circ}$

内角の大きさの公式の説明

正多角形の三角形分割

$n$ 角形は、三角形 $n-2$ 個に分割できます(例えば、六角形は四角形 $4$ 個に分割できる)。よって、$n$ 角形の内角の和は $180\times (n-2)$ 度になります。

正 $n$ 角形の場合、内角の大きさは全て等しいので、一つの内角の大きさは、
$180(n-2)\div n=\dfrac{180(n-2)}{n}$ 度となります。

ちなみに、$n$ をどんどん増やしていくと、内角の大きさは大きくなっていき、しだいに $180^{\circ}$ に近づいていきます。

外角の大きさの公式の説明

~説明1~
一般に多角形の外角の和は $360^{\circ}$ です。正 $n$ 角形の場合、外角の大きさは全て等しいので、一つの外角の大きさは $\dfrac{360}{n}$ 度となります。

~説明2~
内角+外角 $=180^{\circ}$ なので、外角の大きさは、
$180-\dfrac{180(n-2)}{n}=\dfrac{360}{n}$ 度

ちなみに、$n$ をどんどん増やしていくと、外角の大きさは小さくなっていき、しだいに $0^{\circ}$ に近づいていきます。

次:三角柱の底面積、側面積、表面積の求め方
前:多角形の内角の和の公式を3通りの方法で証明する

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