sinxcosxの積分

答え

$$
\int \sin x \cos x \, dx
=
\frac{1}{2}\sin^2 x + C
$$
（同値な形として $-\dfrac{1}{2}\cos^2 x + C$ や $\dfrac{1-\cos 2x}{4}+C$ もよく使います。）

ヒント

$\sin x \cos x$ は、次のどちらかで簡単に積分できます。

• 置換：$u=\sin x$（あるいは $u=\cos x$）
• 倍角公式：$\sin x\cos x=\dfrac{1}{2}\sin 2x$

解答

ここでは置換積分で求めます。$u=\sin x$ とおくと、$du=\cos x\,dx$ なので

$$
\int \sin x \cos x\,dx
=
\int u\,du
$$

よって

$$
=
\frac{u^2}{2}+C
=
\frac{1}{2}\sin^2 x + C
$$

解説

$\sin x \cos x$ の積分は典型的な置換積分の例です。

$u=\sin x$ とおくと $\cos x\,dx$ がそのまま $du$ になるため、積分が一気に簡単になります。

また、倍角公式

$$
\sin x\cos x=\frac{1}{2}\sin 2x
$$

を使って

$$
\int \sin x\cos x\,dx
=
\frac12\int \sin 2x\,dx
=
-\frac14\cos 2x + C
$$

と計算してもOKです。これは

$$
-\frac14\cos 2x + C
=
\frac{1-\cos 2x}{4}+C
=
\frac12\sin^2 x + C
$$

と同値です（定数の違いを吸収できます）。

関連する積分

• cos^2x の積分
• sin^2x の積分
• tanx の積分