cos^2x の積分

最終更新日 2026/02/24

問題

次の不定積分を求めよ。

$$
\int \cos^2 x \, dx
$$

答え

$$
\int \cos^2 x \, dx
=
\frac{x}{2}+\frac{\sin 2x}{4}+C
$$

$\cos^2 x$ はそのままでは積分しにくいため、
三角関数の半角公式

$$
\cos^2 x = \frac{1+\cos 2x}{2}
$$

を使って式を変形すると計算しやすくなります。

半角公式を用いると

$$
\int \cos^2 x\,dx
=
\int \frac{1+\cos 2x}{2}\,dx
$$

となります。

積分を分けると

$$
=
\frac12 \int 1\,dx
+
\frac12 \int \cos 2x\,dx
$$

それぞれ計算すると

$$
=
\frac{x}{2}
+
\frac12 \cdot \frac{\sin 2x}{2}
+
C
$$

よって

$$
=
\frac{x}{2}
+
\frac{\sin 2x}{4}
+
C
$$

$\cos^2 x$ の積分は、三角関数の半角公式

$$
\cos^2 x = \frac{1+\cos 2x}{2}
$$

を用いることで簡単に計算できます。

この公式を使うと、積分は

の2つに分けることができます。

また一般に

$$
\int \cos(ax)\,dx=\frac{\sin(ax)}{a}+C
$$

という公式を用いると計算できます。