最終更新日 2026/02/24
問題
次の不定積分を求めよ。
$$
\int \sin^2 x \, dx
$$
答え
$$
\int \sin^2 x \, dx
=
\frac{x}{2}-\frac{\sin 2x}{4}+C
$$
ヒント
$\sin^2 x$ はそのままでは積分しにくいため、
三角関数の半角公式
$$
\sin^2 x = \frac{1-\cos 2x}{2}
$$
を使って式を変形すると計算しやすくなります。
解答
半角公式を用いると
$$
\int \sin^2 x\,dx
=
\int \frac{1-\cos 2x}{2}\,dx
$$
となります。
積分を分けると
$$
=
\frac12 \int 1\,dx
–
\frac12 \int \cos 2x\,dx
$$
それぞれ計算すると
$$
=
\frac{x}{2}
–
\frac12 \cdot \frac{\sin 2x}{2}
+
C
$$
よって
$$
=
\frac{x}{2}
–
\frac{\sin 2x}{4}
+
C
$$
解説
$\sin^2 x$ の積分も、$\cos^2 x$ と同様に
三角関数の半角公式
$$
\sin^2 x = \frac{1-\cos 2x}{2}
$$
を使うと簡単に計算できます。
この公式を用いると、積分は
- 定数の積分
- $\cos 2x$ の積分
の2つに分けることができます。
また一般に
$$
\int \cos(ax)\,dx=\frac{\sin(ax)}{a}+C
$$
という公式を用いて計算します。
関連する積分
- cos^2x の積分
- sinxcosx の積分
- tanx の積分
