3乗の因数分解公式5つと例題

最終更新日 2019/05/12

3乗に関係する因数分解公式は以下の5つです。
$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$
$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$
$a^3+3a^2b+3ab^2+b^3=(a+b)^3$
$a^3-3a^2b+3ab^2-b^3=(a-b)^3$
$a^3+b^3+c^3-3abc\\
=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$

このページでは,上記の3乗の因数分解公式について,1つずつ例題と証明を解説していきます。

3乗の和の因数分解

3乗の和の形は、
$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$
のように因数分解できます。

例題として $a^3+8b^3$ を因数分解してみましょう。

3乗の和の因数分解公式を($b\to 2b$ として)使います:
$a^3+8b^3=a^3+(2b)^3$
$=(a+2b)(a^2-2ab+4b^2)$

次に,因数分解公式:
$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$
を証明してみます。

右辺を展開して,左辺に一致することを確認します。
$(a+b)(a^2-ab+b^2)\\=a(a^2-ab+b^2)+b(a^2-ab+b^2)\\
=a^3-a^2b+ab^2+a^2b-ab^2+b^3\\
=a^3+b^3$

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3乗の差の因数分解

3乗の差の形は、
$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$
のように因数分解できます。

例題として $8x^3-27$ を因数分解してみましょう。

3乗の差の因数分解公式を($a\to 2x$、$b\to 3$ として)使います:
$8x^3-27=(2x)^3-3^3$
$=(2x-3)(4x^2+6x+9)$

次に,因数分解公式:
$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$
を証明してみます。

右辺を展開して,左辺に一致することを確認します。
$(a-b)(a^2+ab+b^2)\\=a(a^2+ab+b^2)-b(a^2+ab+b^2)\\
=a^3+a^2b+ab^2-a^2b-ab^2-b^3\\
=a^3-b^3$

和の3乗にする因数分解

$a^3+3a^2b+3ab^2+b^3=(a+b)^3$
という因数分解公式もあります。

例題として $a^3+6a^2b+12ab^2+8b^3$ を因数分解してみましょう。

上記の因数分解公式を($b\to 2b$ として)使います:
$a^3+6a^2b+12ab^2+8b^3\\
=a^3+3a^2(2b)+3a(2b)^2+(2b)^3$
$=(a+2b)^3$

次に,因数分解公式:
$a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\\=(a+b)^3$
を証明してみます。

二項定理を使って右辺を展開すると、
$(a+b)^3=a^3+3ab^2+3ab^2+b^3$
となります。

この公式は,因数分解というよりも式の展開で使うことが多いかもしれませんね。

差の3乗にする因数分解

$a^3-3a^2b+3ab^2-b^3=(a-b)^3$
という因数分解公式もあります。

例題として $27x^3-27x^2+9x-1$ を因数分解してみましょう。

上記の因数分解公式を($a\to 3x$、$b\to 1$ として)使います:
$27x^3-27x^2+9x-1\\
=(3x)^3-3(3x)^2\cdot 1+3\cdot (3x)\cdot 1^2-1^3$
$=(3x-1)^3$

次に,因数分解公式:
$a^3-3a^2b+3ab^2-b^3=(a-b)^3$
を証明してみます。

二項定理を使って右辺を展開すると、
$(a-b)^3=a^3-3ab^2+3ab^2-b^3$
となります。

3乗が3つある式の因数分解

ここまでの4つの因数分解は,教科書にも載っている基本的なものです。

5つめは,少し難しい因数分解公式です:
$a^3+b^3+c^3-3abc\\
=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$

この公式の証明と応用例は,a^3+b^3+c^3-3abcの因数分解と応用問題2問で解説しています。

次回は a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-b)の因数分解など を解説します。

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