因数分解公式(3乗が絡むもの)と例題

(1) $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$
(2) $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$
(3) $a^3+3a^2b+3ab^2+b^3=(a+b)^3$
(4) $a^3-3a^2b+3ab^2-b^3=(a-b)^3$

中学数学で習う基本的な公式です。因数分解公式としては (1)、(2) が特に重要(よく使う)です。

練習問題

以下の式を因数分解せよ:
[1] $a^3+8b^3$
[2] $8x^3-27$
[3] $a^3+6a^2b+12ab^2+8b^3$
[4] $27x^3-27x^2+9x-1$

解答

[1] 公式 (1) を使う($b\to 2b$ として使う):
$a^3+8b^3=a^3+(2b)^3$
$=(a+2b)(a^2-2ab+4b^2)$

[2] 公式 (2) を使う($a\to 2x$、$b\to 3$ として使う):
$8x^3-27=(2x)^3-3^3$
$=(2x-3)(4x^2+6x+9)$

[3] 公式 (3) を使う($b\to 2b$ として使う):
$a^3+6a^2b+12ab^2+8b^3\\
=a^3+3a^2(2b)+3a(2b)^2+(2b)^3$
$=(a+2b)^3$

[4] 公式 (4) を使う($a\to 3x$、$b\to 1$ として使う):
$27x^3-27x^2+9x-1\\
=(3x)^3-3(3x)^2\cdot 1+3\cdot (3x)\cdot 1^2-1^3$
$=(3x-1)^3$

公式の証明

いずれも右辺を展開して左辺に一致することを確認するだけです!

(1) $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$ の証明
$(a+b)(a^2-ab+b^2)\\=a(a^2-ab+b^2)+b(a^2-ab+b^2)\\
=a^3-a^2b+ab^2+a^2b-ab^2+b^3\\
=a^3+b^3$

(2) $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$ の証明
$(a-b)(a^2+ab+b^2)\\=a(a^2+ab+b^2)-b(a^2+ab+b^2)\\
=a^3+a^2b+ab^2-a^2b-ab^2-b^3\\
=a^3-b^3$

(3) $a^3+3a^2b+3ab^2+b^3=(a+b)^3$ の証明
二項定理より、
$(a+b)^3=a^3+3ab^2+3ab^2+b^3$

(4) $a^3-3a^2b+3ab^2-b^3=(a-b)^3$ の証明
二項定理より、
$(a-b)^3=a^3-3ab^2+3ab^2-b^3$

次:a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-b)の因数分解など
前:因数分解を自動で計算してくれるツール

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