a^3+b^3+c^3-3abcの因数分解と応用問題2問

$a^3+b^3+c^3-3abc\\
=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$

因数分解公式の証明

難しい因数分解公式です。証明していきましょう。

$a^3+b^3+c^3-3abc\\
=\{(a+b)^3-3a^2b-3ab^2\}+c^3-3abc\\
=(a+b)^3+c^3-3ab(a+b)-3abc$

上の式の前半部分は三乗の因数分解公式より
$(a+b)^3+c^3\\
=(a+b+c)\{(a+b)^2-(a+b)c+c^2\}\\
=(a+b+c)\{a^2+b^2+2ab+c^2-ac-bc\}$
となります。

上の式の後半部分は
$-3ab(a+b)-3abc\\
=-3ab(a+b+c)$
となります。

この2つの式は、共通因数 $(a+b+c)$ でくくり出せます:
$(a+b+c)(a^2+b^2+2ab+c^2-ac-bc)\\
+(a+b+c)\cdot(-3ab)$
$=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$

式の展開に応用

因数分解公式を逆に見ると、以下のような展開公式になります:
$(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)\\
=a^3+b^3+c^3-3abc$

例題1:
$(x+2y+3)(x^2+4y^2+9-2xy-6y-3x)$
を展開せよ。

解答

上記の公式で、
$a=x$、$b=2y$、$c=3$ とすると、
$(x+2y+3)(x^2+4y^2+9-2xy-6y-3x)\\
=x^3+8y^3+27-3\cdot x\cdot (2y)\cdot 3\\
=x^3+8y^3+27-18xy$

対称式の問題に応用

次は、対称式の問題です。

例題2:$x+y+z=2$、$xy+yz+zx=3$、$xyz=4$ のとき $x^3+y^3+z^3$ の値を求めよ。

解答

因数分解公式より、
$x^3+y^3+z^3-3xyz\\
=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)$
です。この式に、問題文の条件式を代入すると、
$x^3+y^3+z^3-12\\
=2(x^2+y^2+z^2-3)$
となります。

よって、
$x^3+y^3+z^3\\
=2(x^2+y^2+z^2)-6+12\\
=2(x^2+y^2+z^2)+6$
となります。

また、
$x^2+y^2+z^2\\
=(x+y+z)^2-2(xy+yz+zx)\\
=2^2-2\cdot 3\\
=-2$
なので、

$x^3+y^3+z^3=2(-2)+6$
$=2$
となります。

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