座標平面上における回転の公式

座標平面における回転

二次元座標平面上において、$(x,y)$ を原点中心に反時計回りに $\theta$ 回転させた点の座標 $(X,Y)$ は、以下の式で計算できる:
$\begin{pmatrix}X\\Y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta &\cos\theta\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$

~目次~
・具体例
・公式の証明
・原点以外を中心とした回転の公式

具体例

例題:$(4,0)$ を原点中心に反時計回りに $60^{\circ}$ 回転させた点の座標を計算せよ。

解答

$\cos 60^{\circ}=\dfrac{1}{2}$、$\sin 60^{\circ}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ なので、回転させた点 $(X,Y)$ は、

$\begin{pmatrix}X\\Y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos 60^{\circ}&-\sin 60^{\circ}\\\sin 60^{\circ} &\cos 60^{\circ}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\\
=\begin{pmatrix}\frac{1}{2}&-\frac{\sqrt{3}}{2}\\\frac{\sqrt{3}}{2}&\frac{1}{2}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}4\\0\end{pmatrix}\\
=\begin{pmatrix}2\\2\sqrt{3}\end{pmatrix}$

なお、行列の積については、行列の積の計算方法と例題をどうぞ。

余談:この回転の公式は、昔は高校数学で習っていました(行列の一次変換を高校数学で扱っていたのです)。

公式の証明

三角関数の加法定理を利用して、回転の公式を導出してみます。

まず、原点から $P$ までの距離を $r$、偏角を $\alpha$ とします(図参照)。すると、$x=r\cos\alpha$、$\theta=r\sin\alpha$ となります。

回転後の座標の導出

そして、コサインの加法定理を使うと、
$X=r\cos(\alpha+\theta)\\
=r\cos\alpha\cos\theta-r\sin\alpha\cos\theta\\
=x\cos\theta-y\sin\theta$

となります。同様に
$X=r\sin(\alpha+\theta)\\
=r\sin\alpha\cos\theta+r\cos\alpha\sin\theta\\
=y\cos\theta+x\sin\theta$

この2つの式を行列の形で書くと、
$\begin{pmatrix}X\\Y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta &\cos\theta\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$
となります。

原点以外を中心とした回転の公式

中心が原点でない場合の図

回転の中心が原点ではなく、$A(a,b)$ である場合については「ベクトル $AP$ を回転させる」と考えることで、以下のように同様の公式を得ることができます:

$\begin{pmatrix}X-a\\Y-b\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta &\cos\theta\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x-a\\y-b\end{pmatrix}$

次:円に内接する四角形の面積を求める公式
前:sin15度、cos15度、tan15度の値と求め方

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