行列の積の計算方法と例題

$p\times q$ 行列と $r\times s$ 行列の積(かけ算)は $q=r$ のときのみ定義され、その結果は $p\times s$ 行列になる。

具体例(いろいろなサイズの行列積)

$1\times 2$ 行列と $2\times 1$ 行列の積
$\begin{pmatrix} a &b\end{pmatrix}\begin{pmatrix}c\\d\end{pmatrix}=ac+bd$
→二次元ベクトルの内積

$1\times 3$ 行列と $3\times 1$ 行列の積
$\begin{pmatrix} a &b&c\end{pmatrix}\begin{pmatrix}d\\e\\f\end{pmatrix}=ad+be+cf$
→三次元ベクトルの内積

$2\times 2$ 行列と $2\times 1$ 行列の積
$\begin{pmatrix} a &b\\c&d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}e\\f\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}ae+bf\\ce+df\end{pmatrix}$

行列積の例1

→左側の行列は横に区切る

$1\times 2$ 行列と $2\times 2$ 行列の積
$\begin{pmatrix} a &b\end{pmatrix}\begin{pmatrix}c&d\\e&f\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}ac+be&ad+bf\end{pmatrix}$

行列積の例2

→右側の行列は縦に区切る

$2\times 2$ 行列と $2\times 2$ 行列の積
$\begin{pmatrix} a &b\\c&d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}e&f\\g&h\end{pmatrix}$$=\begin{pmatrix}ae+bg&af+bh\\ce+dg&cf+dh\end{pmatrix}$

行列積の例3

→左は横、右は縦に区切る

全てを覚える必要はありません、左は横、右は縦に区切ると覚えましょう。

例題

$A=\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix}$、
$B=\begin{pmatrix}10&11&12\\13&14&15\\16&17&18\end{pmatrix}$
とする。行列のかけ算 $AB$ の$21$ 成分を求めよ。また、$BA$ の $21$ 成分も求めよ。

$3\times 3$ 行列になってもやり方は同じです。左は横、右は縦に区切ります。

答え

$AB$ の $21$ 成分は、$A$ を横に区切った二つ目:$\begin{pmatrix}4&5&6\end{pmatrix}$
と $B$ を縦に区切った一つ目:$\begin{pmatrix}10\\13\\16\end{pmatrix}$ の内積なので、
$4\cdot 10+5\cdot 13+6\cdot 16\\
=40+65+96=201$

同様に、$BA$ の $21$ 成分は、$B$ を横に区切った二つ目:$\begin{pmatrix}13&14&15\end{pmatrix}$
と $A$ を縦に区切った一つ目:$\begin{pmatrix}1\\4\\7\end{pmatrix}$ の内積なので、
$13\cdot 1+14\cdot 4+15\cdot 7\\
=13+56+105=174$

このように、$AB$ と $BA$ は一般には異なります(行列の積は順番を交換したら結果が変わる)。

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