三角形の合同条件を図で分かりやすく説明

三角形の合同条件は、以下の3つです。

(i)3辺の長さがそれぞれ等しい

三角形の合同条件1

(ii)2辺とその間の角がそれぞれ等しい

三角形の合同条件2

(iii)1辺とその両端の角がそれぞれ等しい

三角形の合同条件3

そもそも合同とは?

2つの三角形が「同じ形で同じ大きさ」のとき合同であると言います。

ただし「同じ形で同じ大きさ」とは平行移動や回転、裏返すことでピッタリ重なることを言います。

(i)3辺の長さがそれぞれ等しい
(ii)2辺とその間の角がそれぞれ等しい
(iii)1辺とその両端の角がそれぞれ等しい
のうちどれかが成り立つとき、2つの三角形は合同です。これらの条件のことを「三角形の合同条件」と言います。

合同であることの証明

合同であることの証明の例題
$ABCD$ が平行四辺形であるとき、三角形 $ABC$ と三角形 $CDA$ が合同であることを証明してみましょう。
合同であることの証明

平行四辺形の向かい合う辺の長さは等しいです。よって、$AB=CD$、$BC=DA$ です。また、三角形 $ABC$ と三角形 $CDA$ で、辺 $AC$ は共通です。よって、3辺の長さがそれぞれ等しいので、三角形 $ABC$ と三角形 $CDA$ は合同になります。

参考:平行四辺形の3つの性質とその証明

直角三角形の合同条件

直角三角形の合同条件は、以下の2つです。

(a)直角三角形で、斜辺と他の1辺の長さがそれぞれ等しい

直角三角形の合同条件1

(b)直角三角形で、斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しい

直角三角形の合同条件2

直角三角形の合同条件は覚えていなくても、以下のように普通の三角形の合同条件を覚えていれば、合同であることを説明できます。

(a)について
条件(a)が成立するとき、3平方の定理より、残った1辺の長さも等しくなります。よって、2つの直角三角形は3辺の長さがそれぞれ等しいので、三角形の合同条件(i)により合同であることが分かります。

(b)について
条件(b)が成立するとき、三角形の内角の和は $180^{\circ}$ なので、残りの1つの角度も等しくなります。よって、2つの直角三角形は1辺とその両端の角がそれぞれ等しいので、三角形の合同条件(iii)により合同であることが分かります。

そのため、普通の三角形の合同条件(i)~(iii)は絶対覚える必要がありますが、直角三角形の合同条件(ii)は覚えなくても問題ありません。

次回は 三角形の相似条件と有名な例題3問 を解説します。

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