三角形の相似条件と有名な例題3問

2つの三角形が相似である条件
(i) 2組の角がそれぞれ等しい
(ii) 2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい
(iii) 3組の辺の比がすべて等しい

三角形の相似条件

三角形の相似条件を使う例として有名なものを3つ紹介します。

平行線と相似

例題1:図において、$AB$ と $CD$ は平行であるとする。このとき、三角形 $ABX$ と $CDX$ が相似であることを証明せよ。

平行線と相似

解答

平行線の錯角は等しいので、
$\angle XAB=\angle XCD$
$\angle XBA=\angle XDC$
です。

よって、2組の角がそれぞれ等しいので、条件 (i) より、三角形 $ABX$ と $CDX$ は相似であることが証明できました。

このように、等しい角度はいろいろな図形で登場するので、相似の条件(i),(ii),(iii) の中では (i) を使うことが一番多いです。

「相似を証明せよ」と言われたら、基本的に「等しい角度を2組見つける」と考えましょう。

円周角と相似

例題2:図において三角形 $ABX$ と $CDX$ が相似であることを証明せよ。

円周角と相似

解答

円周角の定理より、

$\angle BAX=\angle DCX$
(どちらも弧 $BD$ に対応する円周角)

$\angle ABX=\angle CDX$
(どちらも弧 $AC$ に対応する円周角)

です。よって、2組の角がそれぞれ等しいので、条件 (i) より、三角形 $ABX$ と $CDX$ は相似であることが証明できました。

中点と相似

例題3:図において、$M$ は $AB$ の中点、$N$ は $AC$ の中点とする。このとき、三角形 $AMN$ と $ABC$ が相似であることを証明せよ。

中点と相似

解答

$\angle MAN$ と $\angle BAC$ は同じ角なので、大きさは等しいです。

また、
$AB:AC=2AM:2AN=AM:AN$
となるので、2組の辺の比が等しいことが分かります。

よって、三角形 $AMN$ と $ABC$ は、2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しいので、条件 (ii) より、相似であること証明できました。

ちなみに、例題3は中点連結定理の証明、例題、逆でも登場した有名な図です。

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前:鋭角三角形と鈍角三角形の意味と見分け方

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