円錐台の体積と表面積を計算する公式と証明

計算ツール

大きな円錐の上側を切り取ったプリンのような図形を円錐台と言います。円錐台の高さを $h$、底面の半径を $a$、天面の半径を $b$ とします。

以下では、円錐台の体積と表面積を計算する公式をそれぞれ導出します。

円錐台の体積

まずは、切り取られた円錐の高さ $x$ を計算します。

三角形の相似に注目すると、
$b:a=x:x+h$
なので、
$bx+bh=ax$
$x=\dfrac{bh}{a-b}$
となります。

よって、小さな円錐の体積は、
$\pi b^2\times\dfrac{bh}{a-b}\times\dfrac{1}{3}=\dfrac{\pi b^3h}{3(a-b)}$
です。

一方、大きな円錐の高さは、
$x+h=\dfrac{bh}{a-b}+\dfrac{(a-b)h}{a-b}=\dfrac{ah}{a-b}$
となります。

したがって、大きな円錐の体積は、
$\pi a^2\times\dfrac{ah}{a-b}\times\dfrac{1}{3}=\dfrac{\pi a^3h}{3(a-b)}$
となります。

よって、円錐台の体積は「大きな円錐の体積」から「小さな円錐の体積」を引いたものなので、
$\dfrac{(a^3-b^3)\pi h}{3(a-b)}$
$=\dfrac{1}{3}\pi h(a^2+ab+b^2)$
となります。
（最後は分子を因数分解しました。）

円錐台の側面積

小さな円錐の母線の長さは、三平方の定理を使うと、
$\sqrt{b^2+x^2}\\
=\sqrt{b^2+\left(\dfrac{bh}{a-b}\right)^2}\\
=\dfrac{b}{a-b}\sqrt{(a-b)^2+h^2}$

よって、小さな円錐の側面積は、円錐の側面積の求め方を使うと、
$\pi\times b\times\dfrac{b}{a-b}\sqrt{(a-b)^2+h^2}\\
=\dfrac{\pi b^2}{a-b}\sqrt{(a-b)^2+h^2}$

同様に、大きな円錐の側面積は、
$\pi\times a\times\sqrt{a^2+(x+h)^2}\\
=\pi a\times\sqrt{a^2+\left(\dfrac{ah}{a-b}\right)^2}\\
=\dfrac{\pi a^2}{a-b}\sqrt{(a-b)^2+h^2}$

となります。よって、円錐台の側面積は「大きな円錐の側面積」から「小さな円錐の側面積」を引いたものなので、
$\dfrac{\pi(a^2-b^2)}{a-b}\sqrt{(a-b)^2+h^2}$
$=\pi(a+b)\sqrt{(a-b)^2+h^2}$
となります。

円錐台の表面積

底面の面積 $\pi a^2$
天面の面積 $\pi b^2$
側面積 $\pi(a+b)\sqrt{(a-b)^2+h^2}$
を足し合わせると、円錐台の表面積が求まります。

次回は チェバの定理の覚え方、例題、証明、逆 を解説します。