キュムラントとキュムラント母関数

確率変数 $X$ に対して、$f(t)=\log E[e^{tX}]$ という関数のことをキュムラント母関数と言います。また、キュムラント母関数を以下のように級数展開したときの係数 $\kappa_n$ をキュムラントと言います:
$\log E[e^{tX}]=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{\kappa_n}{n!}t^n$

キュムラントの例

例えば、正規分布のキュムラント母関数を計算してみましょう。

$X$ が平均 $\mu$ で分散 $\sigma^2$ の正規分布に従うとして、キュムラント母関数を計算すると、
$\log E[e^{tX}]\\
=\log\left\{e^{tx}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}dx\right\}\\
=\cdots\\
=\mu t+\dfrac{\sigma^2}{2!}t^2$
となります。
(途中で省略した計算は、ガウス積分を使って行います)

よって、
一次のキュムラントは $\kappa_1=\mu$
二次のキュムラントは $\kappa_2=\sigma^2$
三次以上のキュムラントは $\kappa_n=0\:(n\geq 3)$
となります。

キュムラントに関連する用語の整理

キュムラントは分布の特徴を表す量ですが、似た用語として「モーメント」があります。

キュムラント母関数:
$\log E[{e^{tX}}]$ のことです。
展開したときの係数がキュムラントです。

モーメント母関数(積率母関数):
$E[e^{tX}]$ のことです。
展開したときの係数がモーメントです。

特性関数:
$E[e^{itX}]$ のことです。

3つとも $X$ について期待値を取るので、$t$ の関数です。

モーメント

モーメントは、$X^n$ の期待値として定義することもできます(モーメント母関数による定義と同じ値になります)。

すなわち、$X^n$ の期待値のことを $n$ 次モーメントと言います:
$\mu_n=E[X^n]$

例.
$E[X]$:一次モーメント(期待値)
$E[X^2]$:二次モーメント

平均まわりのモーメント

また $(X-\mu_1)^n$ の期待値のことを、平均まわりの $n$ 次モーメントと言います:
$\mu’_n=E[(X-\mu_1)^n]$

例.
$E[(X-\mu_1)]=0$:平均まわりの一次モーメントは必ず $0$ になります。
$E[(X-\mu_2)^2]$:平均まわりの二次モーメントは分散です。

モーメントとキュムラントの関係

$n$ 次モーメントは、$n$ 次までのキュムラントの多項式で表現できます。

$\mu_1=\kappa_1$
$\mu_2=\kappa_2+\kappa_1^2$
$\mu_3=\kappa_3+3\kappa_2\kappa_1+\kappa_1^3$

逆に、$n$ 次のキュムラントは、$n$ 次までのモーメントの多項式で表現できます。

$\kappa_1=\mu_1$
$\kappa_2=\mu_2-\mu_1^2$
$\kappa_3=\mu_3-3\mu_2\mu_1+2\mu_1^3$

尖度と歪度をキュムラントで表す

分布の特徴を表す尖度と歪度は、キュムラントを使って表すことができます。

歪度:
$\dfrac{\mu_3’^{}}{\mu_2’^{\frac{3}{2}}}=\dfrac{\kappa_3}{\kappa_2^{\frac{3}{2}}}$

尖度:
$\dfrac{\mu_4’^{}}{\mu_2’^2}-3=\dfrac{\kappa_4}{\kappa_2^2}$

特に、尖度はモーメントで表現した場合には $-3$ という項が出ますが、キュムラントで表すときれいです。

次回は ベルヌーイ分布の意味、性質、二項分布との関係など を解説します。

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