ベルヌーイ分布について整理しました。
ベルヌーイ分布とは
例えば、表が出る確率が $p$ であるコインを投げたときに、
表が出る → $X=1$
裏が出る → $X=0$
に対応させると、$X$ はベルヌーイ分布に従います。
つまり、ベルヌーイ分布は、１回のコイン投げを表現する分布と言えます。
ちなみに、コイン投げのように、結果が２通りしかないような試行のことを、ベルヌーイ試行と言うことがあります。
確率質量関数
ベルヌーイ分布の確率関数（確率質量関数）は、
$P(1)=p$
$P(0)=1-p$
です。
この２つの式をまとめて、
$P(k)=p^k(1-p)^{1-k}$
と書くこともできます。
※ベルヌーイ分布は、離散型確率分布なので「確率密度関数」ではなく「確率質量関数」です。
期待値
証明．
$X$ がベルヌーイ分布に従うとき、
$E[X]=1\times p+0\times(1-p)=p$
です。
分散
証明．
期待値と同様に、
$E[(X-p)^2]\\
=E[X^2]-2pE[X]+p^2\\
=p-2p^2+p^2\\
=p(1-p)$
となっています。
ベルヌーイ分布の和
$X_1+X_2$ は、コイン投げを２回したときに表が出る回数に対応します。
より一般に、コイン投げを $n$ 回したときに表が出る回数が従う分布が二項分布です。二項分布は、$n$ 個のベルヌーイ分布の和で表現できます。
コイン投げ $n$ 回に対応する二項分布の確率質量関数は、
$P(k)={}_n\mathrm{C}_kp^k(1-p)^{1-k}$
になります。
ベルヌーイ分布は二項分布の特殊ケース（$n=1$ の場合）です。
特性関数
証明．
期待値や分散と同様に、計算できます：
$E[e^{itX}]\\
=pe^{it}+(1-p)e^{0}\\
=1-p+pe^{it}$
次回は ベータ分布と他の分布のおもしろい3つの関係 を解説します。
