２つの円の交点の座標を求める＋答えの確認方法

２つの円の交点（共有点）の座標は、連立方程式を解くことで求めることができます。

交点の座標の求め方

解答

まず、２つの円の式をそれぞれ展開します：
$x^2+y^2-2y+1=25$
$x^2-8x+16+y^2-6y+9=5$
上の式から下の式を引くと、
$8x-16+4y-8=20$
つまり、
$8x+4y=44$
$2x+y=11$
$y=11-2x$
これを、円１の式に代入すると、
$x^2+(10-2x)^2=25$

次に、この二次方程式を解きます：
$x^2+100-40x+4x^2=25$
$5x^2-40x+75=0$
$x^2-8x+15$
$(x-3)(x-5)=0$
$x=3,5$
これを緑の式に代入すると、$y$ はそれぞれ
$5$ と $1$ になります。

よって、交点の座標は、$(3,5)$ と $(5,1)$ になります。

検算方法

答えが正しいかどうかを確認する方法を２つ紹介します。

方法１．オンラインのツールを使う
wolframalpha.com にアクセスし、
solve (x-1)^2+y^2=25,(x-3)^2+(y-4)^2=5
のように入力すれば、答えが確認できます。
ついでに座標平面上のグラフも確認できます。

方法２．もとの円の式に答えを代入して確認する
例えば、$x=3$、$y=5$ をもとの円の式：
$x^2+(y-1)^2=25$
に代入すると、
$3^2+(5-1)^2=25$
つまり、$9+16=25$ となり、確かに成立しています。

共有点の個数

２つの円の交点（共有点）の個数について、
１．共有点を２つ持つ
２．共有点を１つ持つ（接する）
３．共有点を持たない
の３つのパターンがあります。

１の場合には、連立方程式の解が２ペアでてきます。
２の場合には、連立方程式の解が１ペアでてきます。
３の場合には、連立方程式から実数解は得られません。

交点を通る直線

例えば、先ほどの例題では、円の交点を通る直線の方程式は、
$y=11-2x$
です。

次回は 二次関数のx軸、y軸、原点に関する対称移動 を解説します。