漸近線の求め方３パターン

漸近線の「漸」には「しだいに」という意味があります。この記事では，高校数学でよく問われる漸近線の求め方を3パターンに分けて解説します。

漸近線とは

漸近線とは，「グラフが十分遠くで距離が限りなく $0$ に近づいていく直線」のことです。
ただしこの説明だけではイメージしにくいので，高校数学でよく登場する3つの漸近線のパターンを具体例とともに見ていきます。

$y$ 軸に平行な漸近線

例えば，$y=\dfrac{1}{x-2}$という分数関数では，分母が $0$ になるのは $x=2$ です。実際，$x=2$ が漸近線になっています。

また，$y=\dfrac{x+1}{(x-1)(x+2)}$という分数関数では，分母が $0$ になるのは $x=1$ と $x=-2$ です。実際，$x=1$ と $x=-2$が漸近線になっています。

一般に，
$\displaystyle\lim_{x\to a+0} f(x)=\infty$
$\displaystyle\lim_{x\to a+0} f(x)=-\infty$
$\displaystyle\lim_{x\to a-0} f(x)=\infty$
$\displaystyle\lim_{x\to a-0} f(x)=-\infty$
のどれか1つでも成り立てば，$x=a$ が漸近線になります。

分数関数のその他の漸近線

例えば，$f(x)=\dfrac{1}{x+3}+2x+1$という分数関数では，分母が $0$ になる点が $x=-3$ なので$x=-3$が漸近線です。それだけでなく，
$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\{f(x)-(2x+1)\}=0$
となるので，$y=2x+1$ も漸近線になります。

一般には，$f(x)=\dfrac{2x^2+7x+4}{x+3}$ の漸近線を求めよ，という形の問題が多いです。この場合は多項式の割り算を行うと，
$f(x)=\dfrac{1}{x+3}+2x+1$
と変形できます。したがって，$y=2x+1$ が漸近線になります。

双曲線の漸近線

例えば，$\dfrac{x^2}{9}-\dfrac{y^2}{2}=1$ の場合は $a=3$，$b=\sqrt{2}$ なので，
$y=\dfrac{\sqrt{2}}{3}x$ と $y=-\dfrac{\sqrt{2}}{3}x$
が漸近線になります。

関連：双曲線に関する公式まとめ
次回は 微分の公式全59個を重要度つきで整理 を解説します。