ln（自然対数）とlog10（常用対数）の変換

$\ln$ は $e$ を底とする対数（自然対数）のことです。$\ln x=\log_e x$ です。

常用対数→自然対数

常用対数から自然対数への変換は $2.303$ 倍します。

例題１

$\log_{10}3\fallingdotseq 0.4771$ とする。$\ln 3$ の値を大雑把に計算せよ。

解答

公式より、
$\ln 3\fallingdotseq 2.303\log_{10}3\\
\fallingdotseq 2.303\times 0.4771\\
\fallingdotseq 1.099$

ちなみに、Google の検索窓に「ln 3」と打って検索すると、$\ln 3=1.098612\cdots$ であることが確認できます。

自然対数→常用対数

逆に、自然対数から常用対数への変換は $2.303$ で割ります。

例題２

$\ln 2\fallingdotseq 0.6931$ とする。$\log_{10} 2$ の値を大雑把に計算せよ。

解答

公式より、
$\log_{10} 2\fallingdotseq \ln 2 \div 2.303\\
\fallingdotseq 0.6931\div 2.303\\
\fallingdotseq 0.3010$

ちなみに、Google の検索窓に「log 2」と打って検索すると、$\log_{10} 3=0.300955\cdots$ であることが確認できます。

公式の証明

「底の変換公式」という対数の公式を使います。
関連：対数計算の公式一覧（基礎５個＋発展４個）

底の変換公式
$\log_a b=\dfrac{\log_c b}{\log_c a}$

で $a=10$、$b=x$、$c=e$ とすると、
$\log_{10} x=\dfrac{\ln x}{\ln 10}$
よって、
$\ln x=(\ln 10)\log_{10}x$
となります。

$\ln 10\fallingdotseq 2.303$ なので（$e^{2.303}\fallingdotseq 10$）
$\ln x=2.303\log_{10}x$
という式が導けました。

次回は eのlogx乗=x、eの-logx乗=1/x を解説します。