x^2e^{-ax^2}の定積分

特に $a=1$ とした式：
$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx=\sqrt{\pi}$
$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}x^2e^{-x^2}dx=\dfrac{\sqrt{\pi}}{2}$
をお目にかかる機会が多いです。覚えておきましょう。

前提知識

公式１はガウス積分と呼ばれる非常に有名な定積分です。

このページの目標は公式１と部分積分を使って公式２を証明することです。
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公式２の証明

それでは $x^2e^{-ax^2}$ の定積分を計算してみましょう。

$x\cdot xe^{-ax^2}$ と見て部分積分を使います。$x$ の微分は $1$，$xe^{-ax^2}$ の積分は $-\dfrac{e^{-ax^2}}{2a}$ なので、
$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}x^2e^{-ax^2}dx\\
=\left[x\cdot\dfrac{-e^{-ax^2}}{2a}\right]_{-\infty}^{\infty}-\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}1\cdot\dfrac{-e^{-ax^2}}{2a}dx$

ここで、
$\displaystyle\lim_{x\to\infty}xe^{-ax^2}=0$
$\displaystyle\lim_{x\to \infty}-xe^{-ax^2}=0$
なので、第一項は $0$ になります。
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よって、第二項のみが残って、
$\dfrac{1}{2a}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ax^2}dx$
となります。

この定積分は公式１より $\sqrt{\dfrac{\pi}{a}}$ となるので、結局
$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}x^2e^{-ax^2}dx=\dfrac{1}{2a}\sqrt{\dfrac{\pi}{a}}$

補足、まめ知識

・$e^{-ax^2}$ や $x^2e^{-ax^2}$ は偶関数なので、積分区間を $[0,\infty]$ にすると値は半分になります：
$\displaystyle\int_{0}^{\infty}e^{-ax^2}dx=\dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{\pi}{a}}$
$\displaystyle\int_{0}^{\infty}x^2e^{-ax^2}dx=\dfrac{1}{4a}\sqrt{\dfrac{\pi}{a}}$

・$e^{-ax^2}$ や $x^2e^{-ax^2}$ の原始関数を初等的な関数で表すことはできません（つまり，不定積分はできません）。

次回は 1/(x^2+1), 1/(x^2+a^2) の積分公式 を解説します。