極限の基本的な公式、考え方を整理しました。
極限の公式一覧
１：$\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x}=1$
教科書に載っている非常に基本的な公式です。三角関数の極限はほぼこの公式がもとになっています。
２：$\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\tan x}{x}=1$
公式１から簡単に導けるので必ずしも覚えなくてもよいです。
３：$\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{1-\cos x}{x^2}=\dfrac{1}{2}$
分母分子に $(1+\cos x)$ をかけて公式１を使うと証明できます。
４：$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\left(1+\dfrac{1}{x}\right)^x=e$
非常に重要。ネイピア数の定義となる式です。→ネイピア数（自然対数の底）の意味と、重要である理由
５：$\displaystyle\lim_{y\to 0}\left(1+y\right)^{\frac{1}{y}}=e$
公式４で $x=\dfrac{1}{y}$ と置くと導けます。
６：$\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{e^x-1}{x}=1$
公式４から導けますが、覚えておいた方がよいです。
７：$\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\log(1+x)}{x}=1$
同じく公式４から導けますが、覚えておいた方がよいです。
極限の考え方一覧
８：指数関数はどんな多項式よりも強い
例：$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{e^x}{x^{100}}=\infty$
９：対数関数はどんな多項式よりも弱い
例：$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{\log x}{x}=0$
８と９の詳細、および関連する他の公式についてx/e^x、x^2/e^xなどの極限の公式と証明で解説しています。
１０：階乗はどんな指数関数よりも強い
例：$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{n!}{100^n}=\infty$
１１：微分の定義式 $\displaystyle\lim_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}=f'(x)$
例えば公式６は微分の定義式の形をしています。
１２：分子を有理化するとうまくいくことがある
次回は 分子の有理化と極限の問題 を解説します。
