複素数の絶対値の意味と計算問題

$a+bi$ という複素数について、$\sqrt{a^2+b^2}$ のことを絶対値と言います。複素数 $z$ の絶対値は $|z|$ と書きます。

複素数の絶対値

例題1:複素数
・$3+2i$
・$-2-i$
・$4i$
の絶対値をそれぞれ求めよ。

解答

$3+2i$ の絶対値は、$\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}$

$-2-i$ の絶対値は、$\sqrt{(-2)^2+(-1)^2}=\sqrt{5}$

$4i$ の絶対値は、$\sqrt{0^2+4^2}=4$

このように、複素数の絶対値は実数になります。

かけ算、分数の絶対値

かけ算の性質:$|z_1z_2|=|z_1||z_2|$
わり算の性質:$\left|\dfrac{z_1}{z_2}\right|=\dfrac{|z_1|}{|z_2|}$

例題2:複素数 $(3+4i)(1+2i)$ および $\dfrac{3+4i}{1+2i}$ の絶対値を計算せよ。

解答

$|3+4i|=\sqrt{3^2+4^2}=5$
$|1+2i|=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$

よって、かけ算の絶対値は、
$|(3+4i)(1+2i)|\\
=|3+4i||1+2i|$
$=5\sqrt{5}$

また、割り算の絶対値は、
$\dfrac{3+4i}{1+2i}\\
=|3+4i|\div |1+2i|\\
=5\div \sqrt{5}$
$=\sqrt{5}$

二乗の絶対値

$z$ の共役複素数を $\overline{z}$ と書きます。
複素数 $z$ の絶対値の二乗 $|z|^2$ は $z\overline{z}$ と一致します。
これは暗記しておきましょう。

例えば、複素数 $z$ に対して、実数の展開公式のように
$|z+2|^2=z^2+4z+4$ と計算したくなりますが、これは間違いです。
(左辺は必ず実数ですが、右辺は多くの $z$ の場合で虚数になることから、この式が一般には正しくないことが分かります)

$|z+2|^2=(z+2)(\overline{z}+2)$
が正しい変形になります。

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