0乗が1になることの3通りの説明

$0$ 乗は $1$ になる。

例:
$2^0=1$、$3^0=1$、$5^0=1$、$10^0=1$

例として、$2$ の $0$ 乗が $1$ になることを3通りの方法で説明します。

説明1:べき乗を並べてみる

$2$ の $1$ 乗、$2$ 乗、$3$ 乗、と順番に並べてみましょう。

$2^0=?$
$2^1=2$
$2^2=4$
$2^3=8$
$2^4=16$

これを見ると、
一行下に行くと、値が $2$ 倍される
ことが分かります。言い換えると、
一行上に行くと、値が半分になる
ことが分かります。

この
一行上に行くと、値が半分になる
という規則が全てで成立してほしい! と思いつつ一行目と二行目を見ると
$?$ は $2$ の半分
となります。

つまり、$2^0=1$ となります。

説明2:かけ算を書き下してみる

説明1と似ていますが、今度はかけ算を全て書き下してみましょう。

$2^0=?$
$2^1=1\times 2$
$2^2=1\times 2\times 2$
$2^3=1\times 2\times 2\times 2$
$2^4=1\times 2\times 2\times 2\times 2$

あえてかけ算の先頭に $1$ をつけてみました。

これを見ると、
一行上に行くと、かけ算の $2$ の個数が$1$ つ減る
ことが分かります。

この規則が全てで成立してほしい! と思いつつ一行目と二行目を見ると
$?$ は $1$ に $2$ を $0$ 個かけたもの
となります。つまり、$1$ に何もかけないので、
$2^0=1$ となります。

説明3:指数法則

「$2$ を $2$ 回かけたもの」と「$2$ を $3$ 回かけたもの」をかけると「$2$ を $5$ 回かけたもの」になります。

つまり、$2^2\times 2^3=2^5$
となります。($4\times 8=32$ という式と同じ)

他の数でも同じことが言えます。すなわち、
「$2$ を $m$ 回かけたもの」と「$2$ を $n$ 回かけたもの」をかけると「$2$ を $(m+n)$ 回かけたもの」になります。
つまり、$2^m\times 2^n=2^{m+n}$
となります。

この
$2^m\times 2^n=2^{m+n}$
という規則(指数法則と呼ばれます)が $n=0$ でも成り立ってほしい! と思って $n=0$ を代入してみると、
$2^m\times 2^0=2^m$
となります。$2^m$ に $2^0$ をかけても $2^m$ のままなので、$2^0=1$ であることが分かります。

3つの説明の中で、一番納得できた説明はどれでしたか?なお、上の3つの説明はあくまでも「説明」です。「$0$ 乗が $1$ である」というのは「証明すべきこと」ではなく「定義」です。

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