全体集合と補集合の意味と公式

全体集合と補集合という用語の意味と、関連する公式について紹介します。

全体集合と補集合

「考えている対象全体」を表す集合を全体集合と言います。

例えば、サイコロの出目について考えるとき、「考えている対象全体」は $U=\{1,2,3,4,5,6\}$ です。(全体集合のことを、英語で Universal Set と言うので、全体集合は $U$ という記号で表すことが多いです)

また、全体集合の要素の中で、集合 $A$ に含まれていないものを集めた集合を $A$ の補集合と言います。

$A$ の補集合のことを $\overline{A}$ や、$A^{c}$ などと表すことが多いです。

全体集合と補集合の例

例えば、$U=\{1,2,3,4,5,6\}$ が全体集合で、$A=\{1,3,5\}$ のとき、$A$ の補集合は、$\overline{A}=\{2,4,6\}$ になります。

要素数の公式

集合 $A$ の要素数を $|A|$ と書くと、
$|A|+|\overline{A}|=|U|$
が成立します。

例えば、人間の集合 $U$ に対して
$20$ 歳以上の人の集合を $A$ とすると、
$\overline{A}$ は $20$ 歳未満の人の集合になります。

$20$ 歳以上の人数
+$20$ 歳未満の人数
=人間全体の人数

なので、$|A|+|\overline{A}|=|U|$ が成立します。

ド・モルガンの法則

$\overline{A\cap B}=\overline{A}\cup \overline{B}$
$\overline{A\cup B}=\overline{A}\cap\overline{B}$

上の2つの公式を合わせて、ド・モルガンの法則と言います。

具体例で確認してみましょう。
$U=\{1,2,3,4,5,6\}$
$A=\{1,3,5\}$
$B=\{1,2,3\}$
としてみます。

・$\overline{A\cap B}=\overline{A}\cup \overline{B}$ の確認
$A\cap B=\{1,3\}$ なので、左辺は
$\overline{A\cap B}=\{2,4,5,6\}$
です。一方、
$\overline{A}=\{2,4,6\}$、$\overline{B}=\{4,5,6\}$
なので、$\overline{A}\cup \overline{B}=\{2,4,5,6\}$ です。

・$\overline{A\cup B}=\overline{A}\cap \overline{B}$ の確認
$A\cup B=\{1,2,3,5\}$ なので、左辺は
$\overline{A\cup B}=\{4,6\}$
です。一方、
$\overline{A}=\{2,4,6\}$、$\overline{B}=\{4,5,6\}$
なので、$\overline{A}\cap \overline{B}=\{4,6\}$ です。

次:集合の要素数についての2つの公式
前:和集合と積集合の意味と公式

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