全単射と逆写像の存在についての2つの性質

全単射と逆写像についての以下の2つの性質について整理します。

性質1:
写像 $f$ について、$f$ が全単射であることと、$f$ に逆写像が存在することは同値である。

性質2:
写像 $f$ に逆写像 $g$ が存在すれば、$g$ は全単射である。

全単射、逆写像とは

全単射の意味

以下の2つの条件を満たすとき、写像 $f:X\to Y$ は全単射であると言います。

・$f$ が全射である
つまり、任意の $y\in Y$ に対して、$f(x)=y$ となる $x\in X$ が存在する。

・$f$ が単射である
つまり、任意の $y\in Y$ に対して、$f(x)=y$ となる $x$ が高々1つしか存在しない。
参考:単射、全射、全単射の意味と覚え方など

逆写像の意味

写像 $f:X\to Y$ に対して「対応関係を逆にした写像」のことを逆写像と言います。つまり、$Y$ から $X$ への写像 $g$ で、
$f(x)=y\iff g(y)=x$
を満たすようなものが存在するとき、$g$ を $f$ の逆写像と言います。

全単射と逆写像存在の同値性証明

写像 $f$ について、
$f$ が全単射 $\iff$ $f$ に逆写像が存在
を証明します。

直感的には当たり前のように感じるかもしれませんが、単射、全射、逆写像の定義を使ってきちんと証明します。

全単射なら逆写像が存在することの証明
$f$ は全射なので、任意の $y\in Y$ に対して、$f(x)=y$ となる $x$ が存在します。さらに、$f$ は単射なので、そのような $x$ はただ1つです。
任意の $y\in Y$ に対して、それぞれ上記のように持ってきた $x$ を使って、$g(y)=x$ と定めます。
すると、$g$ は $Y$ から $X$ への写像で、
$f(x)=y\iff g(y)=x$
となります。

逆写像が存在するなら全単射の証明
対偶を証明します。$f$ が全単射でないとします。
・$f$ が全射でない場合。
「$f(x)=y$ となる $x$ が存在しない」ような $y$ が存在します。もし、逆写像 $g$ が存在すると仮定し、$g(y)=x’$ とします。すると、逆写像の定義より $f(x’)=y$ となります。これは、上記に矛盾です。つまり、背理法により逆写像は存在しません。

・$f$ が単射でない場合。
$f(x_1)=f(x_2)=y$ となるような相異なる $x_1,x_2\in X$ が存在します。よって、逆写像 $g$ が存在すると仮定すると、$g(y)=x_1$ と $g(y)=x_2$ を同時に満たすことができないので矛盾です。つまり、背理法により逆写像は存在しません。

逆写像が全単射であることの証明

次は、性質2を証明します。

性質2:
写像 $f:X\to Y$ に逆写像 $g:Y\to X$ が存在すれば、$g$ は全単射である。

$g$ が全射であることの証明
任意の $x\in X$ に対して、$y=f(x)$ とすると、$g(y)=x$ です。つまり、$g(y)=x$ となる $y$ が存在するので、$g$ は全射です。

$g$ が単射であることの証明
背理法で証明します。もし、$g(y_1)=g(y_2)=x$ となるような相異なる $y_1,y_2\in Y$ が存在するとします。すると、逆写像の定義より $f(x)=y_1$ かつ $f(x)=y_2$ となりますが、これは同時に満たせないので矛盾です。

まとめ

全単射(一対一の対応)には逆写像が存在する。そして、逆写像も全単射になる。

次回は ユークリッド空間の意味を分かりやすく説明する を解説します。

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