ユークリッド空間の意味を分かりやすく説明する

実数を $n$ 個並べたもの全体の集合ユークリッド距離を定めたものをユークリッド空間と言う。

ユークリッド空間とは

まずは、少し分かりにくいですが、定義を述べます。

$n$ 次元ユークリッド空間 $\mathbb{R}^n$ とは、

1.実数を $n$ 個並べたもの全体の集合
つまり、
$\mathbb{R}^n=\{(x_1,x_2,\dots,x_n)\mid x_1,x_2,\dots,x_n\in \mathbb{R}\}$
という集合に対して、

2.ユークリッド距離を定めたもの
つまり、
$(a_1,a_2,\dots,a_n)$ と $(b_1,b_2,\dots,b_n)$ の間の距離を、
$\sqrt{(a_1-b_1)^2+(a_2-b_2)^2+\cdots +(a_n-b_n)^2}$
で定義したものです。

2次元ユークリッド空間

例として、$n=2$ の場合を考えてみます。

実数を2つ並べたもの $(x_1,x_2)$ 全体の集合 $\mathbb{R}^2$ を考えます。
例えば、$(3,2),(-1,3.14),(\sqrt{2},-e)$ などは全て $\mathbb{R}^2$ の要素です。

そして、
$\mathbb{R}^2$ の2つの要素 $(a_1,a_2)$、$(b_1,b_2)$ の間の距離を、
$\sqrt{(a_1-b_1)^2+(a_2-b_2)^2}$
で定めます。

つまり、$\mathbb{R}^2$ は、いわゆる普通の直交座標平面とみなすことができます。

2次元ユークリッド空間

実際、三平方の定理より、緑色の線分の長さは $\sqrt{(a_1-b_1)^2+(a_2-b_2)^2}$ になります。

3次元ユークリッド空間

次は、$n=3$ の場合を考えてみます。

実数を3つ並べたもの $(x_1,x_2,x_3)$ 全体の集合 $\mathbb{R}^3$ を考えます。
例えば、$(3,2,1),(\sqrt{2},-e,3.14)$ などは全て $\mathbb{R}^3$ の要素です。

そして、
$\mathbb{R}^3$ の2つの要素 $(a_1,a_2,a_3)$、$(b_1,b_2,b_3)$ の間の距離を、
$\sqrt{(a_1-b_1)^2+(a_2-b_2)^2+(a_3-b_3)^2}$
で定めます。

つまり、$\mathbb{R}^3$ は、高校数学で学ぶ、いわゆる普通の直交座標空間とみなすことができます。

ユークリッド空間は、いわゆる普通の直交座標平面($n=2$ の場合)や直交座標空間($n=3$ の場合)を一般化したものと言えます。

非ユークリッド空間の例

ユークリッド空間について、より深く理解するために、ユークリッド空間ではない空間についても紹介します。

ここまでは、ユークリッド距離という、いわゆる普通の距離を考えてきました。

しかし、実数を $n$ 個並べたもの全体の集合という舞台が同じでも、違う距離を考えれば、ユークリッド空間ではない別の空間となります。

例えば、座標平面の文脈で(平安京や札幌のように)縦と横にしか移動できない状況を考えると、$(a_1,a_2)$ と $(b_1,b_2)$ の間の距離は、ユークリッド距離ではなく、
$|a_1-b_1|+|a_2-b_2|$ という距離を使う方がふさわしいでしょう。

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前:直積集合の意味と性質

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