余弦定理の証明と例題

余弦定理:
$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$
$b^2=c^2+a^2-2ca\cos B$
$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$

($A$、$B$、$C$ は内角 $a$、$b$、$c$ は辺の長さ)

余弦定理の意味

~目次~
・簡単な例題
・証明(鋭角の場合)
・証明(直角、鈍角の場合)

余弦定理の簡単な例題

余弦定理を使えば、二辺とその間の角度が分かっているときに、残りの一辺の長さを計算することができます。

例題:$A=60^{\circ}$、$b=3$、$c=2$ のとき $a$ を求めよ。

余弦定理を使う例題

解答

余弦定理:
$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$

に与えられた条件を代入すると、
$a^2=3^2+2^2-2\cdot 3\cdot 2\cdot\cos 60^{\circ}\\
=9+4-12\cdot\dfrac{1}{2}\\
=7$

よって、$a=\sqrt{7}$

余弦定理の証明(鋭角の場合)

$\angle A$ が鋭角の場合に、
$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$
を証明してみましょう。
(鋭角の場合さえ理解できれば直角や鈍角も簡単です)

余弦定理の証明

$AH=x$ とおくと、$CH=b-x$ です。
三角形 $ABH$ に三平方の定理を使うと、
$BH^2=c^2-x^2$
三角形 $BCH$ に三平方の定理を使うと、
$BH^2=a^2-(b-x)^2$

よって、
$c^2-x^2=a^2-(b-x)^2$
です。

これを整理すると、
$c^2-x^2=a^2-b^2-x^2+2bx$
$c^2=a^2-b^2+2bx$
$x=\dfrac{-a^2+b^2+c^2}{2b}$

また、$\cos$ の定義より、
$\cos A=\dfrac{AH}{BA}\\
=\dfrac{x}{c}
=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$

よって、
$2bc\cos A=b^2+c^2-a^2$
$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$

余弦定理の証明(直角、鈍角の場合)

$\angle A$ が直角の場合

余弦定理(直角の場合)

三平方の定理より、$a^2=b^2+c^2$ が成立します。
$\cos 90^{\circ}=0$ なので,$a^2=b^2+c^2$ という式は
$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$
と書いてもOKですね。
余弦定理は、直角三角形の場合には三平方の定理(ピタゴラスの定理)そのものというわけです。

$\angle A$ が鈍角の場合

$AH=x$ とおくと、$CH=b+x$ です。
三角形 $ABH$ に三平方の定理を使うと、
$BH^2=c^2-x^2$
三角形 $BCH$ に三平方の定理を使うと、
$BH^2=a^2-(b+x)^2$

余弦定理(鈍角の場合)

よって、
$c^2-x^2=a^2-(b^2+x^2+2bx)$
これを整理して $x$ について解くと、
$x=\dfrac{a^2-b^2-c^2}{2b}$

また、$\cos$ の定義より、
$\cos A\\
=\cos(180^{\circ}-\angle BAH)\\
=-\cos(\angle BAH)
=-\dfrac{AH}{BA}\\
=-\dfrac{x}{c}
=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$

よって、
$2bc\cos A=b^2+c^2-a^2$
$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$

次回は 三角比の公式一覧 を解説します。

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