中点連結定理とその逆の証明および例題

中点連結定理

中点連結定理:
$M$ を $AB$ の中点、$N$ を $AC$ の中点とするとき、
・$2MN=BC$
・$MN$ と $BC$ は平行

中点連結定理の証明

相似な三角形に注目することで、中点連結定理を証明します。

図において、三角形 $AMN$ と $ABC$ に注目します。

中点連結定理

・$AM:AB=1:2=AN:NC$
・$\angle A$ が共通($\angle MAN=\angle BAC$)

より、二辺の比とその間の角がそれぞれ等しいので、三角形 $AMN$ と $ABC$ は相似になります。
相似比は $1:2$ なので、$2MN=BC$ となります。

また、相似な三角形の対応する角は等しいので、$\angle AMN=\angle ABC$ です。よって、同位角が等しいので、$MN$ と $BC$ が平行であることが分かります。

例題

中点連結定理を使った例題を解いてみましょう。
例題

図のように、三角形 $ABC$ の各辺の中点を $L$、$M$、$N$ とおく。三角形 $ABC$ の周の長さが $12$ であるとき、三角形 $LMN$ の周の長さを計算せよ。

解答

$L$ は $AB$ の中点、$N$ は $AC$ の中点なので、中点連結定理より、$LN=\dfrac{1}{2}BC$

同様に、
$LM=\dfrac{1}{2}AC$、$MN=\dfrac{1}{2}AB$

よって、三角形 $LMN$ の周の長さは、
$LN+LM+MN\\
=\dfrac{1}{2}(BC+AC+AB)\\
=\dfrac{1}{2}\cdot 12\\
=6$

中点連結定理の逆とその証明

中点連結定理は逆も成立します。

つまり、

中点連結定理の逆

$AB$ 上の点 $M$ と $AC$ 上の点 $N$ が
・$2MN=BC$
・$MN$ と $BC$ は平行
を満たすとき、$M$ は $AB$ の中点、$N$ は $AC$ の中点
が成立します。

中点連結定理の逆を証明してみましょう。

・平行線の同位角は等しいので、$\angle AMN=\angle ABC$
・同じく同位角より、$\angle ANM=\angle ACB$
よって、3つの角がそれぞれ等しいので、三角形 $AMN$ と $ABC$ は相似になります。

また、仮定より $MN:BC=1:2$ なので、相似比は $1:2$ です。よって、$AM:AB=1:2$ となります。つまり、$AM=MB$ となり、$M$ が $AB$ の中点であることが分かりました。

同様に、$AN:AC=1:2$ から $N$ が $AC$ の中点であることも分かります。

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