単位行列（Unit Matrix）とは、
$\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$、$\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$
のように、対角成分が $1$、非対角成分が $0$ である行列のことです。
単位行列の性質
例：
$\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}$
どのようなベクトルにかけても変わらないので、
・座標変換の言葉で言うと単位行列は恒等変換（全ての点を動かさない変換）に対応する
・線形写像の言葉で言うと単位行列は恒等写像に対応する
ということになります。
逆行列
以下、単位行列のことを $I$ と書きます。
正方行列 $A$ に対して、$AB=BA=I$ となるような行列 $B$ が存在するとき、 $B$ を $A$ の逆行列と言います。
・$A$ に逆行列が存在するならば、それはただひとつです。
・$AB=I$、$BA=I$ のうち片方が成立するならばもう片方も成立します（証明は専門書を参照）。よって、実際は両方確認する必要はありません。
行列式、ランク（階数）
～行列式～
単位行列の行列式は $1$ です。置換による行列式の定義から分かります。
～ランク～
$n\times n$ の単位行列のランクは $n$ です。行列式が $0$ でないからです。よって、単位行列は正則行列となります。
固有値、固有ベクトル
～固有値～
$n\times n$ の単位行列の固有値は $1$ のみです（重複度 $n$）。
理由：対角行列の固有値は対角成分である。そして、単位行列は対角成分が $1$ である対角行列だから。
～固有ベクトル～
全てのベクトルが単位行列 $I$ の（固有値 $1$ に対応する）固有ベクトルです。
理由：任意のベクトル $\overrightarrow{x}$ に対して、$I\overrightarrow{x}=\overrightarrow{x}$ となるから。
次回は 対称行列の固有値、行列式、逆行列、積 を解説します。
