対称行列の固有値、行列式、逆行列、積

対称行列の固有値に関する性質

・対称行列の固有値は全て実数です。例えば、$\begin{pmatrix}1&2\\2&5\end{pmatrix}$ の固有値は $(3\pm 2\sqrt{2})$ です。

・対称行列の異なる固有値に対応する固有ベクトルは直交します。

・対称行列は必ず対角化できます。さらに言うと、直交行列で対角化できます。つまり、対称行列 $A$ に対して、直交行列 $U$ をうまく選べば、$UAU^{-1}$ が対角行列になります。

対称行列の行列式

・対称行列の行列式は $0$ になることもあります。例えば、零行列 $O$ は対称行列で、行列式が $0$ です。

・当然ですが、対称行列の行列式は $0$ でないこともあります。例えば、対称行列 $\begin{pmatrix}1&2\\2&5\end{pmatrix}$ の行列式は $1$ です。

対称行列の逆行列

これを証明してみましょう。

まず。逆行列の定義より、
$AA^{-1}=I$
です。両辺の転置を取ると、
$(A^{-1})^{\top}A^{\top}=I$
となります。$A$ は対称行列なので、
$(A^{-1})^{\top}A=I$
となります。両辺に右から $A^{-1}$ をかけると、
$(A^{-1})^{\top}=A^{-1}$
となります。

よって、$A^{-1}$ は転置しても自分と同じなので、対称行列です。

対称行列の積

実際、$A=\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}$、$B=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$ とすれば、両方とも対称行列ですが、
$AB=\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}$
となり、これは対称行列ではありません。

次回は ユニタリー行列、エルミート行列などの意味と関係 を解説します。