指数計算のための5つの公式と例

例題:以下の式を簡単にせよ:
(1) $2^3\times 2^4$   (2) $3^5\div 3^3$
(3) $(4^2)^3$   (4) $(4\times 5)^3$
(5) $\left(\dfrac{5}{4}\right)^3$

1つずつ解説していきます。

公式1:指数のたし算

公式:$a^m\times a^n=a^{m+n}$

例:$2^3\times 2^4=2^{3+4}=2^7$

意味:かけ算のとき、指数の部分はたし算になります。
2を3回かけたもの $2\times 2\times 2$ と
2を4回かけたもの $2\times 2\times 2\times 2$
をかけ算すると、たしかに2を7回かけたものになります。

公式2:指数の引き算

公式:$a^m\div a^n=a^{m-n}$

例:$3^5\div 3^3=3^{5-3}=3^{2}$

意味:わり算のとき、指数の部分は引き算になります。
$\dfrac{3\times 3\times 3\times 3\times 3}{3\times 3\times 3}$
は、約分(分母分子を3で3回割る)できて、たしかに3を2回かけたものになります。

公式3:指数のかけ算

公式:$(a^m)^n=a^{mn}$

例:$(4^2)^3=4^{2\times 3}=4^6$

意味:「$m$ 回かけたもの」を $n$ 回かけると「$mn$ 回かけたもの」になります。
「4を2回かけたもの」を3回かけたものは、
$(4\times 4)\times (4\times 4)\times (4\times 4)$
となり、たしかに4を6回かけたものになります。

公式4:かけ算のべき乗はべき乗のかけ算

公式:$(ab)^m=a^mb^m$

例:$(4\times 5)^3=4^3\times 5^3$

意味:「かけ算して $m$ 乗したもの」と「$m$ 乗してかけ算したもの」は等しい。
「4と5をかけ算して3乗したもの」
$(4\times 5)\times(4\times 5)\times(4\times 5)$
「4を3乗したものと5を3乗したもののかけ算」
$(4\times 4\times 4)\times (5\times 5\times 5)$
はかけ算の順番を交換しただけなので確かに等しいです。

公式5:わり算のべき乗はべき乗のわり算

公式:$\left(\dfrac{a}{b}\right)^m=\dfrac{a^m}{b^m}$

例:$\left(\dfrac{5}{4}\right)^3=\dfrac{5^3}{4^3}$

意味:「わり算して $m$ 乗したもの」と「$m$ 乗してわり算したもの」は等しい。
「5を4で割って3乗したもの」
$\dfrac{5}{4}\times\dfrac{5}{4}\times\dfrac{5}{4}$
「5の3乗を4の3乗で割ったもの」
$\dfrac{5\times 5\times 5}{4\times 4\times 4}$
は確かに等しいです。

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