例題：以下の式を簡単にせよ：
(1) $2^3\times 2^4$ (2) $3^5\div 3^3$
(3) $(4^2)^3$ (4) $(4\times 5)^3$
(5) $\left(\dfrac{5}{4}\right)^3$
１つずつ解説していきます。
公式１：指数のたし算
公式：$a^m\times a^n=a^{m+n}$
例：$2^3\times 2^4=2^{3+4}=2^7$
意味：かけ算のとき、指数の部分はたし算になります。
2を3回かけたもの $2\times 2\times 2$ と
2を4回かけたもの $2\times 2\times 2\times 2$
をかけ算すると、たしかに2を7回かけたものになります。
公式２：指数の引き算
公式：$a^m\div a^n=a^{m-n}$
例：$3^5\div 3^3=3^{5-3}=3^{2}$
意味：わり算のとき、指数の部分は引き算になります。
$\dfrac{3\times 3\times 3\times 3\times 3}{3\times 3\times 3}$
は、約分（分母分子を3で3回割る）できて、たしかに3を2回かけたものになります。
公式３：指数のかけ算
公式：$(a^m)^n=a^{mn}$
例：$(4^2)^3=4^{2\times 3}=4^6$
意味：「$m$ 回かけたもの」を $n$ 回かけると「$mn$ 回かけたもの」になります。
「4を2回かけたもの」を3回かけたものは、
$(4\times 4)\times (4\times 4)\times (4\times 4)$
となり、たしかに4を6回かけたものになります。
公式４：かけ算のべき乗はべき乗のかけ算
公式：$(ab)^m=a^mb^m$
例：$(4\times 5)^3=4^3\times 5^3$
意味：「かけ算して $m$ 乗したもの」と「$m$ 乗してかけ算したもの」は等しい。
「4と5をかけ算して3乗したもの」
$(4\times 5)\times(4\times 5)\times(4\times 5)$
「4を3乗したものと5を3乗したもののかけ算」
$(4\times 4\times 4)\times (5\times 5\times 5)$
はかけ算の順番を交換しただけなので確かに等しいです。
公式５：わり算のべき乗はべき乗のわり算
公式：$\left(\dfrac{a}{b}\right)^m=\dfrac{a^m}{b^m}$
例：$\left(\dfrac{5}{4}\right)^3=\dfrac{5^3}{4^3}$
意味：「わり算して $m$ 乗したもの」と「$m$ 乗してわり算したもの」は等しい。
「5を4で割って3乗したもの」
$\dfrac{5}{4}\times\dfrac{5}{4}\times\dfrac{5}{4}$
「5の3乗を4の3乗で割ったもの」
$\dfrac{5\times 5\times 5}{4\times 4\times 4}$
は確かに等しいです。
次回は 比例（数学）の意味を分かりやすく解説 を解説します。
