確率変数の積の期待値と分散

$X$ と $Y$ の期待値と分散を使って、$XY$ の期待値と分散を表してみます。

期待値

$X$ と $Y$ が独立なとき、
$E[XY]=E[X]E[Y]$

が成立します。

これを証明してみましょう。

$X$ と $Y$ が独立なとき、
$P(X=x,Y=y)=P(X=x)P(Y=y)$
のように、確率を積に分解できます。よって、積の期待値は、
$E[XY]=\displaystyle\sum_{x,y}P(X=x,Y=y)xy\\
=\displaystyle\sum_{x}\sum_{y}P(X=x)P(Y=y)xy\\
=\displaystyle\sum_{x}P(X=x)x\sum_{y}P(Y=y)y\\
=E[X]E[Y]$
となります。

連続型の確率変数の場合も同様に証明することができます。

分散

$X$ の分散を $V[X]$ と表記します。また、見やすさのために $E[X]=\mu_X$ と表記します。

$X$ と $Y$ が独立なとき、
$V[XY]=V[X]V[Y]+\mu_X^2V[Y]+\mu_Y^2V[X]$
が成立します。

残念ながら、$X$ と $Y$ が独立であっても、一般には
$V[XY]\neq V[X]V[Y]$
なので注意が必要です。

この公式を証明してみましょう。

一般に、$Z$ の分散は、
$V[Z]=E[Z^2]-\mu_Z^2$
という式で計算できます。この式に、$Z=XY$ を代入すると、
$V[XY]=E[X^2Y^2]-\mu_{X}^2\mu_Y^2$
となります。
(さきほどの期待値の公式より、$XY$ の期待値が $\mu_X\mu_Y$ となることを使いました。

また、$X$ と $Y$ が独立のとき、$X^2$ と $Y^2$ も独立なので、
$E[X^2Y^2]=E[X^2]E[Y^2]$
となります。よって、
$V[XY]=E[X^2]E[Y^2]-\mu_X^2\mu_Y^2$
となります。
さらに、緑色の式をもう一度使うと、
$V[XY]=(V[X]+\mu_X^2)(V[Y]+\mu_Y^2)-\mu_X^2\mu_Y^2$
となります。

これを展開すると、
$V[XY]=V[X]V[Y]+\mu_X^2V[Y]+\mu_Y^2V[X]$
となります。

3つ以上の場合

$X_1,X_2,\dots,X_n$ が独立のとき、
$E[X_1X_2\cdots X_n]=E[X_1]E[X_2]\cdots E[X_n]$
が成立します。

また、分散については、
$V[X_1X_2\cdots X_n]\\
=(V[X_1]+\mu_{X_1}^2)(V[X_2]+\mu_{X_2}^2)\cdots (V[X_n]+\mu_{X_n}^2)\\
-\mu_{X_1}^2\mu_{X_2}^2\cdots \mu_{X_n}^2$

という式が成立します。

確率変数が2つの場合と同様に証明することができます。

このページで紹介した公式は、全て確率変数が互いに独立である場合に成立するものです。独立でない場合には直接計算する他なさそうです。

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