積分定数Cの意味を分かりやすく説明

積分定数 $C$ の意味を分かりやすく説明します。

積分定数とは

$\displaystyle\int 2dx$
という不定積分について考えてみます。

これは、微分したら $2$ になる関数(を全て求めよ)という意味です。

微分したら $2$ になる関数は、$2x$ だけでなく、$2x+1$、$2x+100$ などたくさんあります。ただし、全て $2x+C\:$($C$ は定数)という形です。

つまり、
微分したら $2$ になる関数を全て求めよ
という問題に対する答えは、
$2x+C$(ただし、$C$ はどのような実数でもよい)
となります。

「ただし、$C$ はどのような実数でもよい」と毎回書くのは大変なので、
「$C$ を積分定数とする」と宣言した上で
$2x+C$
のように書くのが慣例になっています。

まとめると

・$\displaystyle\int f(x)dx$ は、微分したら $f(x)$ になる関数全体を表します。
微分したら $f(x)$ になる関数全体を表すためには「どのような実数でもよい」という意味を持つ定数が必要になります。
・この定数を、積分定数と呼び、普通は $C$ で表します。

$C$ を使う理由

積分定数は $C$ を使うのが一般的です。

定数を英語で言うと Constant なので、その頭文字の $C$ を使うことが多いです。

積分定数は何でもよい

ただし、$C$ 以外の文字でも間違いではありません。

例えば、
「$P$ を積分定数とする」と宣言した上で
$\displaystyle\int 2dx=2x+P$
と書いても間違いではありません。

ただし、普通は $C$ を使うので、あえて違う文字を使うと、採点者に悪い印象を与える可能性があります。そのため、大事な試験では $C$ を使うことをおすすめします。

なお、数式中に $C$ が含まれる場合は、積分定数として別の文字を使う必要があります。

例えば、$\displaystyle\int(x+C)dx$
のような不定積分では、$A$ を積分定数として、
$\displaystyle\int(x+C)dx=\dfrac{x^2}{2}+Cx+A$
と書く、などです。

あるいは、$C_1,C’$ などを積分定数としてもよいです。

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