正八面体の展開図の一覧および面や辺の対応

正八面体の展開図は全部で11種類

6つの三角形が横に並ぶタイプ:6種類

正八面体の展開図その1

・6つの三角形が横に並ぶ展開図は全部で6種類あります。
青、緑、赤の正三角形6枚が直線に並びます。上側と下側の灰色をそれぞれ青、緑、赤のどれとくっつけるかで $3\times 3=9$ 通りあるように見えますが、回転させて一致するものを除くと6種類になります。

・同じ色で塗られた2つの面は、組み立てたときに互いに平行な面になります。
4つ以上横に並んだとき、3つ隣の三角形は自分と平行な面になります。実際に模型を作って組み立ててみると理解が深まります。

5つの三角形が横に並ぶタイプ:3種類

正八面体の展開図その2

・5つの三角形が横に並ぶ展開図は全部で3種類あります。
3つの展開図は似ています。一番下の灰色の位置が少し違うだけです。

このように、展開図を書く際には「一番長い横のつらなり」を基準にして考えると書きやすい&見やすいです。正八面体の展開図に関する問題を解くときにも「一番長い横のつらなり」を意識しましょう。

4つの三角形が横に並ぶタイプ:2種類

正八面体の展開図その3

・4つの三角形が横に並ぶ展開図は全部で2種類あります。
この2つも似ています。緑色の正三角形が右上に来るか左下に来るかが違うだけです。

また、4つ以上三角形が横にならばないような展開図はありません。

よって、正八面体の展開図は全部で $6+3+2=11$ 種類です。

対応する辺

それぞれの展開図について、対応する辺(組み立てるときに重なる辺)に同じ番号をつけてみました。

正八面体の展開図で重なる辺その1
正八面体の展開図で重なる辺その2
正八面体の展開図で重なる辺その3

・どの展開図も5つのペアができます。つまり、展開図を組み立てるときには5箇所接着する必要があります。1番から順番にくっつけて組み立てていくのを頭の中でイメージできたら完璧です!

・同じ色の三角形の辺には同じ番号は割り振られません。例えば「1番が両方赤色の三角形の辺」ということはありません。

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