サイコロ(1個、n個)の期待値、分散、標準偏差

サイコロ1個の出目について、
期待値は $\dfrac{7}{2}$、分散は $\dfrac{35}{12}$、標準偏差は $\sqrt{\dfrac{35}{12}}$

サイコロn個の出目の平均について、
期待値は $\dfrac{7}{2}$、分散は $\dfrac{35}{12n}$、標準偏差は $\sqrt{\dfrac{35}{12n}}$

サイコロ1個の期待値、分散、標準偏差

サイコロを1個ふったときの出目を表す確率変数を $X$ とします。ただし、サイコロは公平(どの目の出る確率も $\dfrac{1}{6}$ )とします。

期待値は、
$E[X]=\dfrac{1+2+3+4+5+6}{6}=\dfrac{7}{2}=3.5$

分散は、
$V[X]\\
=\dfrac{1}{6}\{(1-3.5)^2+(2-3.5)^2+(3-3.5)^2\\
+(4-3.5)^2+(5-3.5)^2+(6-3.5)^2\}\\
=\dfrac{1}{6}(6.25+2.25+0.25+0.25+2.25+6.25)\\
=\dfrac{17.5}{6}\\
=\dfrac{35}{12}$

標準偏差は、
$\sigma(X)=\sqrt{V[X]}\\
=\sqrt{\dfrac{35}{12}}\\
\fallingdotseq 1.71$

サイコロ2個の場合

サイコロの出目を表す確率変数をそれぞれ $X_1,X_2$ とします。出目の和 $X_1+X_2$ について考えてみます。

期待値は(それぞれの期待値の和になるので)、
$E[X_1+X_2]=E[X_1]+E[X_2]\\
=3.5+3.5=7$

分散は($X_1$ と $X_2$ が独立ならそれぞれの分散の和になるので)、
$V[X_1+X_2]=V[X_1]+V[X_2]\\
=\dfrac{35}{12}+\dfrac{35}{12}\\
=\dfrac{35}{6}$

標準偏差は、
$\sqrt{\dfrac{35}{6}}\fallingdotseq 2.42$

サイコロn個の場合

$i$ 個目のサイコロの出目を表す確率変数を $X_i$ とします。出目の和は発散してしまうので「$n$ 個の平均」 $Y=\dfrac{X_1+X_2+\cdots +X_n}{n}$ について考えてみます。

「$n$ 個の平均」の期待値は、
$E[Y]=\dfrac{1}{n}(E[X_1]+E[X_2]+\cdots +E[X_n])\\
=\dfrac{1}{n}(3.5\times n)\\
=3.5$

「$n$ 個の平均」の分散は、
$V[Y]=\dfrac{1}{n^2}(V[X_1]+V[X_2]+\cdots +V[X_n])\\
=\dfrac{1}{n^2}\left(\dfrac{35}{12}\times n\right)\\
=\dfrac{35}{12n}$

「$n$ 個の平均」の標準偏差は、
$\sigma[Y]=\sqrt{V[Y]}\\
=\sqrt{\dfrac{35}{12n}}$

このように、サイコロの出目の平均の標準偏差は $\dfrac{1}{\sqrt{n}}$ に比例することが分かります。サイコロをたくさん投げればその平均はほぼ $3.5$ になり、そこからの散らばり具合は小さくなると言えます。

次:階乗の意味と値一覧など
前:確率における独立と従属の意味と例

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