階乗の意味と値一覧など

$n!$ という数学の記号(階乗)について説明します。

階乗の意味

$1$ から $n$ までの自然数を全てかけ合わせたものを $n!$ と表します。

例えば
$3!$ は $3\times 2\times 1=6$ のことです。
$4!$ は $4\times 3\times 2\times 1=24$ のことです。

$n!$ は「$n$ の階乗(かいじょう)」と読みます。

$1$ から $n$ までの自然数を全てかけ合わせたものは、数学のいろいろな場面で登場しますが、いちいち掛け算を全て書いていたら面倒なので、$n!$ というようにビックリマークを使って表します。

階乗の値一覧

$1!=1$
$2!=2$
$3!=6$
$4!=24$
$5!=120$
$6!=720$
$7!=5040$
$8!=40320$
$9!=362880$
$10!=3628800$
$11!=39916800$
$12!=479001600$
$13!=6227020800$
$14!=87178291200$
$15!=1307674368000$
$16!=20922789888000$
$17!=355687428096000$
$18!=6402373705728000$
$19!=121645100408832000$
$20!=2432902008176640000$
$21!=51090942171709440000$
$22!=1124000727777607680000$
$23!=25852016738884976640000$
$24!=620448401733239439360000$
$25!=15511210043330985984000000$

ものすごい勢いで増えています。

階乗を並べてみると、末尾に $0$ がたくさん並ぶことも分かります。

再帰的な表現

$n!$ は $1$ から $n$ までを全てかけあわせたものです。

これは、$1$ から $(n-1)$ までを全てかけあわせたものに $n$ をかけたものです。

つまり、$n!=n\times (n-1)!$ と表現できます。

この式は、プログラムで階乗を記述するときに役立つので覚えておくとよいでしょう。

階乗がどこに現れるか?

場合の数の「順列」という項目で登場します。

例えば、$A$、$B$、$C$ の三文字を順番に並べるとき、その順列の個数は以下のように $3!=6$ 個になります:
$ABC$
$ACB$
$BAC$
$BCA$
$CAB$
$CBA$

もっと一般的に、$n$ 種類の異なるものを一列に並べるとき、その順列の個数は $n!$ 個になります。

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