サイコロを3つ投げたときのいろいろな確率

サイコロを3つ投げたときのいろいろな確率を計算してみましょう。

~目次~
・出る目の積が奇数、偶数になる確率
・出る目が同じ(ゾロ目)確率、異なる確率
・まめ知識、補足

出る目の積が奇数、偶数になる確率

中学数学の確率の練習問題です。

サイコロを3個投げたときに、
(1) 出る目の積が奇数である確率
(2) 出る目の積が偶数である確率
をそれぞれ計算せよ。

(1) サイコロを3つ投げたときに、それらの積が奇数になるのは、3つとも全て奇数であるときです(1つでも偶数があると、かけ算した結果も偶数になります)。1個のサイコロの出目が奇数である確率は $\dfrac{1}{2}$ なので、3つとも奇数である確率は
$\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{2}$$=\dfrac{1}{8}$
となります。

(2) 逆に、3つの出目が積が偶数になるのは「奇数でないとき」なので
$1-\dfrac{1}{8}$$=\dfrac{7}{8}$
となります(余事象の考え方)。

出る目が同じ確率、異なる確率

サイコロを3つ投げたときに、
(3) 出る目が全て同じである確率
(4) 出る目がすべて異なる確率
(5) 出る目のうち2つが同じで残り1つは異なる確率
をそれぞれ計算せよ。

(3) 3つのサイコロの出る目の組合せは全部で $6\times 6\times 6=216$ 通りあります。
そのうち、全てが同じであるようなものは $6$ 通りです。
よって、出る目が全てが同じになる確率は
$\dfrac{6}{216}$$=\dfrac{1}{36}$

(4) 全てが異なるような出る目の組合せは、
$6\times 5\times 4=120$ 通りです。
(1個目の出る目の選び方が6通り、2個目の出る目の選び方が5通り、3個目の出る目の選び方が4通り)
よって、出る目が全て異なる確率は
$\dfrac{120}{216}$$=\dfrac{5}{9}$

(5) 出る目のうち2つが同じで残り1つは異なる確率は、(3) と (4) の余事象です。
よって、求める確率は
$1-\dfrac{1}{36}-\dfrac{5}{9}$$=\dfrac{5}{12}$

まめ知識、補足

この練習問題の(1)から(3)はサイコロの数が $n$ 個の場合に一般化できます。その場合、

出る目の積が奇数になる確率は $\dfrac{1}{2^n}$
偶数になる確率は $1-\dfrac{1}{2^n}$

出る目が全て同じになる確率は $\dfrac{1}{6^{n-1}}$
となります。サイコロの数が増えれば増えるほど、ゾロ目になる確率は急激に減っていきます。

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前:正八面体の展開図の一覧および面や辺の対応

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