内分点と外分点の座標を求める公式

内分点と外分点の座標

$A(a_x,a_y), B(b_x,b_y)$ を結ぶ線分を $m:n$ に内分する点の座標は、
$\left(\dfrac{na_x+mb_x}{m+n},\dfrac{na_y+mb_y}{m+n}\right)$
また、$m:n$ に外分する点の座標は、
$\left(\dfrac{-na_x+mb_x}{m-n},\dfrac{-na_y+mb_y}{m-n}\right)$

内分の具体例

$A(-1,3)$ と $B(5,0)$ を $2:1$ に内分する点の座標を計算してみましょう。
内分点の座標を求める例題

内分点の公式を使うと、内分点の座標は、
$\left(\dfrac{1\cdot(-1)+2\cdot 5}{2+1},\dfrac{1\cdot 3+2\cdot 0}{2+1}\right)\\
=\left(\dfrac{9}{3},\dfrac{3}{3}\right)$
$=(3,1)$
となります。

※ちなみに、内分点の公式で $m=n$ とすると、中点の座標を求める公式になります。

外分の具体例

$A(-2,1)$ と $B(2,3)$ を $3:1$ に外分する点の座標を計算してみましょう。
外分点の座標を求める例題

外分点の公式を使うと、外分点の座標は、
$\left(\dfrac{-1\cdot(-2)+3\cdot 2}{3-1},\dfrac{-1\cdot 1+3\cdot 3}{3-1}\right)\\
=\left(\dfrac{8}{2},\dfrac{8}{2}\right)$
$=(4,4)$
となります。

公式の覚え方

以下の3つの順番で考えると、公式を覚えやすいです。

1.まずは基本形を覚えます。

内分の基本形は、 $\dfrac{nA+mB}{m+n}$ です。分子では $n,m$ の順に登場することに注意してください。

2.内分点の公式は、基本形の $A,B$ にそれぞれの座標を入れたものです。

$\left(\dfrac{na_x+mb_x}{m+n},\dfrac{na_y+mb_y}{m+n}\right)$
$x$ 座標も $y$ 座標も同じ形なので、基本形だけ覚えておけばすぐに作ることができます。

3.外分点の公式は、内分点の公式で、$n$ を $-n$ にしたものです。

$\left(\dfrac{-na_x+mb_x}{m-n},\dfrac{-na_y+mb_y}{m-n}\right)$

次:円の方程式の求め方と例題4問
前:三角形の重心の定義といろいろな求め方

スポンサーリンク

スポンサーリンク

誤植がございましたら @mathwordsnet までご連絡をお願いいたします。
ページ上部へ戻る