線形空間の基底、次元について解説します。
基底、次元とは
基底の非常に大雑把な意味
全体を表現するのに必要最低限のベクトルたちのこと
基底のきちんとした意味
ベクトルの集合 $\{\overrightarrow{v_1},\cdots,\overrightarrow{v_n}\}$ で、以下の２つの条件を満たすもの：
条件１．それらの一次結合で全てのベクトルを表現できる
条件２．それらは一次独立である
（一次結合、一次独立の意味については記事末に補足）
条件１は、必要なものが全てそろっていること
条件２は、余分なものが無いこと
を表します。
次元の意味
基底のベクトルの本数 $n$ のことを次元と言います。基底の取り方はたくさんありますが、ベクトルの本数は基底の取り方によらないので、次元が定義できます。
例題
$W=\left\{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}\in\mathbb{R}^3\mid x+2y+z=0\right\}$
の基底と次元を求めよ。
（$W$ は $x+y+2z=0$ を満たす実数 $x,y,z$ の組全体がなす空間）
それでは、解答です。
$x+y+2z=0$ を満たす実数の組全体はどのような集合でしょうか。
$x,y,z$ のうち２つは自由に動くことができます。試しに $y=y_0,z=z_0$ と固定してやると、
$x=-y_0-2z_0$
に定まります。
つまり、$x+y+z=0$ を満たす実数の組全体は
$\begin{pmatrix}-y_0-2z_0\\y_0\\z_0\end{pmatrix}$
（ただし、$y_0,z_0$ は実数全体を動く）と表現できます。
これを書き換えると、
$y_0\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}+z_0\begin{pmatrix}-2\\0\\1\end{pmatrix}$
となります。
よって、
基底は、
$\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}$ と $\begin{pmatrix}-2\\0\\1\end{pmatrix}$ です。
（理由：緑色の式より、この２本のベクトルの一次結合で $W$ の全てのベクトルを表現できることが分かります。また、これらが一次独立であることも簡単に分かります。つまり、基底であるための２つの条件を満たしています。）
また、基底が２つのベクトルからなっているので、次元は $2$ です。
もっと変数の数が多い場合も、連立方程式を解いて緑色の式のような表現を得ることで、基底と次元を求めることができます。
補足：一次結合、一次独立とは
ベクトルの集合 $\{\overrightarrow{v_1},\cdots,\overrightarrow{v_n}\}$ に対して、それぞれに実数（→注）をかけて足し上げたもの：
$a_1\overrightarrow{v_1}+\cdots +a_n\overrightarrow{v_n}$
を一次結合と言います。
また、
「$a_1\overrightarrow{v_1}+\cdots +a_n\overrightarrow{v_n}=\overrightarrow{0}$ なら $a_1=a_2=\cdots=a_n=0$」
という条件が成立するとき、$\{\overrightarrow{v_1},\cdots,\overrightarrow{v_n}\}$ は一次独立であると言います。
注：場合によっては複素数や別の体について考えることもあります。
次回は 正規直交基底（定義、求め方、性質） を解説します。
