正規直交基底(定義、求め方、性質)

ベクトルの集合 $\overrightarrow{v_1},\overrightarrow{v_2},\cdots,\overrightarrow{v_k}$ が以下の条件を満たすとき、正規直交基底と言う。
・それぞれの長さが $1$(正規化されている)
・互いに直交している(内積が $0$)
・基底である(線形結合で全てを表せる)

~目次~
・正規直交基底の例
・正規直交基底の作り方
・直交行列の性質

正規直交基底の例

例題:三本のベクトル:$\overrightarrow{v_1}=\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}\\\frac{1}{\sqrt{2}}\\0\end{pmatrix}$、$\overrightarrow{v_2}=\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}\\-\frac{1}{\sqrt{2}}\\0\end{pmatrix}$、$\overrightarrow{v_3}=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}$ が正規直交基底をなしていることを確認せよ。

解答

長さが1であることの確認
$|\overrightarrow{v_1}|=\sqrt{(\frac{1}{\sqrt{2}})^2+(\frac{1}{\sqrt{2}})^2}=1$
同様に、$|\overrightarrow{v_2}|=|\overrightarrow{v_3}|=1$ も簡単に確認できます。

互いに直交していることの確認
内積を計算すればOKです。
$\overrightarrow{v_1}\cdot\overrightarrow{v_2}\\
=\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot(-\frac{1}{\sqrt{2}})=0$
同様に、$\overrightarrow{v_1}\cdot\overrightarrow{v_3}=\overrightarrow{v_2}\cdot\overrightarrow{v_3}=0$ も簡単に確認できます。

基底であることの確認
三本のベクトルを並べた行列:
$(\overrightarrow{v_1}\:\overrightarrow{v_2}\:\overrightarrow{v_3})=\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{2}}&0\\\frac{1}{\sqrt{2}}&-\frac{1}{\sqrt{2}}&0\\0&0&1\end{pmatrix}$ が正則であることを確認すればOKです。

例えば、行列式を計算してみると、$-1$ となることから確認できます。

正規直交基底の作り方

(正規直交とは限らない)基底が与えられたときに、正規直交基底を求める方法(グラムシュミッドの直交化法)を紹介します。

長さを $1$ にするのは簡単(ベクトルを長さで割ればよいだけ)なので、どのように直交化するかがポイントです。

$\overrightarrow{v_1},\cdots,\overrightarrow{v_k}$ が正規直交かつ、$\overrightarrow{u}$ がそれらと一次独立のとき、
公式:$\overrightarrow{v}=\overrightarrow{u}-\displaystyle\sum_{i=1}^{k}(\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}_i)\overrightarrow{v}_i$
という新しいベクトルは、$\overrightarrow{v_1},\cdots,\overrightarrow{v_k}$ たちと直交することを利用します!

例題:2本のベクトル:$\overrightarrow{u_1}=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}$、$\overrightarrow{u_2}=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}$、から正規直交基底 $\overrightarrow{v_1},\overrightarrow{v_2}$ を作れ。

解答

まず $\overrightarrow{u_1}$ を正規化して $\overrightarrow{v_1}$ を求める
$|\overrightarrow{u_1}|=\sqrt{2}$ より、$\overrightarrow{v_1}=\dfrac{\overrightarrow{u_1}}{\sqrt{2}}=\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}\\\frac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}$
とすればよい。

次に、公式を使って $\overrightarrow{u_2}$ から $\overrightarrow{v_1}$ と直交するベクトル $\overrightarrow{v}$ を求める:
$\overrightarrow{v}=\overrightarrow{u_2}-(\overrightarrow{u_2}\cdot\overrightarrow{v_1})\overrightarrow{v_1}\\
=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}-\dfrac{3}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}\\\frac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}-\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}\end{pmatrix}$

$\overrightarrow{v}$ を正規化して $\overrightarrow{v_2}$ を得る:
$\overrightarrow{v_2}=\dfrac{\overrightarrow{v}}{|\overrightarrow{v}|}=\begin{pmatrix}-\frac{1}{\sqrt{2}}\\\frac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}$

三次元以上の場合も同様です。公式による直交化と正規化を交互に繰り返していき、$\overrightarrow{v_3},\overrightarrow{v_4},\cdots$ と順々に計算していくことになります。

直交行列の性質

正規直交基底をなすベクトルを並べた行列を直交行列と言います。

例えば、先ほどの例についての行列は、
$(\overrightarrow{v_1}\:\overrightarrow{v_2}\:\overrightarrow{v_3})=\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{2}}&0\\\frac{1}{\sqrt{2}}&-\frac{1}{\sqrt{2}}&0\\0&0&1\end{pmatrix}$
です。

直交行列の行列式は必ず $\pm 1$ になる、という性質があります。

次:正五角形の対角線の長さと高さ
前:線形代数における基底と次元の意味と求め方

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