加速度の意味と、速度・変位との関係

加速度の意味を、
・前半では、大雑把に分かりやすく解説します。
・後半では、数式を使ってきちんと解説します。

加速度の意味(大雑把な説明)

加速度の意味速さの意味と合わせて考えると理解しやすいです。

速さは「1秒あたりに位置がどれくらい変わるか」を表します。
加速度は「1秒あたりに速さがどれくらい変わるか」を表します。

速さは、位置の変化量(変位)を時間で割った量です。例えば、3秒間に位置が $6$ メートル進んだときの速さは、$6\div 3=2\:\mathrm{m/s}$ です。

加速度は、速さの変化量を時間で割った量です。例えば、3秒間に速さが $6\:\mathrm{m/s}$ 速くなったときの加速度は、$6\div 3=2\:\mathrm{m/s^2}$ です。
(加速度の単位は $\mathrm{m/s^2}$ を使います。メートル毎秒毎秒と読みます。)

加速度から速さを計算する

加速度 $a$ から速さ $v$ を計算するときは、
$v=v_0+at$
という公式を使います。

ただし、$v_0$ は初速度の大きさ、$t$ は時間を表します。

例えば、初速度の大きさが $v_0=2\:\mathrm{m/s}$ で、加速度が $a=3\:\mathrm{m/s^2}$ のとき、$t=4$ 秒後の速さは、
$v=2+3\times 4=14\:\mathrm{m/s}$
と計算できます。

特に、最初に停止していた場合は $v_0=0$ なので、
$v=at$
という公式が成立します。

加速度から変位を計算する

加速度 $a$ から変位 $x$ を計算するときは、
$x=\dfrac{1}{2}at^2+v_0t$
という公式を使います。

特に最初に停止していた場合は $v_0=0$ なので、
$x=\dfrac{1}{2}at^2$
という公式が成立します。

加速度の意味(きちんとした説明)

加速度の意味速度の意味と合わせて考えると理解しやすいです。

速度は、位置の変化の割合です。時刻 $t$ における位置を $x(t)$ と表すと、 時刻 $t$ から $\Delta t$ だけ経過する間の変位は $x(t+\Delta t)-x(t)$ なので、その間の変化の割合は
$\dfrac{x(t+\Delta t)-x(t)}{\Delta t}$
となります。

変化の割合の $\Delta t\to 0$ の極限が(瞬間の)速度です:
$v=\displaystyle\lim_{\Delta t\to 0}\dfrac{x(t+\Delta t)-x(t)}{\Delta t}=\dfrac{dx}{dt}$
つまり、速度は位置の微分として定義されます。
(速度はベクトルです。速度の大きさが速さです)

加速度は、速度の変化の割合です。時刻 $t$ における速度を $v(t)$ と表すと、 時刻 $t$ から $\Delta t$ だけ経過する間の速度の変化は $v(t+\Delta t)-v(t)$ なので、その間の変化の割合は
$\dfrac{v(t+\Delta t)-v(t)}{\Delta t}$
となります。

変化の割合の $\Delta t\to 0$ の極限が(瞬間の)加速度です:
$a=\displaystyle\lim_{\Delta t\to 0}\dfrac{v(t+\Delta t)-v(t)}{\Delta t}=\dfrac{dv}{dt}$
つまり、加速度は速度の微分として定義されます。

加速度と微分、積分

さきほどの説明の結論をまとめます。

速度は位置の微分です。微分と積分は逆の操作なので「速度を積分すると位置(の変化量)になる」と言えます。

加速度は速度の微分です。微分と積分は逆の操作なので「加速度を積分すると速度(の変化量)になる」と言えます。

次回は 加速度の単位Gと、2Gや3Gがどれくらいの大きさか を解説します。

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