周波数f、角周波数ω、周期Tの関係と例

$T=\dfrac{1}{f}$
$\omega=2\pi f$
$\omega=\dfrac{2\pi}{T}$

という3つの式は重要です。

ただし、
$T$ は振動の周期
$f$ は周波数(1秒間に何回振動するかを表す)
$\omega$ は角周波数(角振動数とも言う。1秒間に何ラジアン分位相が進むかを表す)
です。

この記事では、3つの関係式を1つずつ解説します。

周波数と周期の関係

$f$ を振動数、$T$ を周期とすると、
$T=\dfrac{1}{f}$
が成立します。これを説明してみます。

例えば、
「$1$ 秒間に $10$ 回振動」
するような動きは($\dfrac{1}{10}$ の時間の長さで考えてみると)
「$\dfrac{1}{10}$ 秒間に $1$ 回振動」
するような動きと同じであることが分かります。

つまり、
振動数が $10$
であることと、
周期が $\dfrac{1}{10}$
であることは対応します。

この関係は、$10$ 以外の数でも成立します。つまり、振動数が $f$ の場合の周期は $\dfrac{1}{f}$ になることが分かります。

周波数と角周波数の関係

$f$ を振動数、$\omega$ を角周波数とすると、
$\omega=2\pi f$
が成立します。これを説明してみます。

まず、$\omega$(角周波数、角振動数)とは、1秒間に何ラジアン分位相が進むかを表す量です。1回の振動は、1回転、つまり $2\pi$ ラジアンに対応します。

よって、
周波数が $f$
→ 1秒間に $f$ 回振動
→ 1秒間に $2\pi\times f$ ラジアン分位相が進む
→ 角振動数は $2\pi f$
となります。

角周波数と周期の関係

$\omega$ を角周波数、$T$ を周期とすると、
$\omega=\dfrac{2\pi}{T}$
が成立します。この式も物理で頻出です。

今までに導出した2つの式:
$T=\dfrac{1}{f}$
$\omega=2\pi f$
から、$f$ を消去すると、
$\omega=\dfrac{2\pi}{T}$
を得ることができます。

例題

西日本の交流は $50$ ヘルツ(振動数が $50$)です。この交流の周期と角振動数を計算してみましょう。

この例では $f=50$ です。

周期は、
$T=\dfrac{1}{f}=\dfrac{1}{50}=0.02$ 秒です。

また、角振動数は、
$\omega=2\pi f=100\pi$
となります。

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