確率における独立と従属の意味と例

確率における事象の独立、従属の意味を説明します。

独立と従属

$P(A\cap B)=P(A)P(B)$
が成立するとき、事象 $A$ と事象 $B$ は独立であると言います。

例えば、大きいサイコロと小さいサイコロをふって、
$A$:大きいサイコロの目が偶数である事象
$B$:小さいサイコロの目が偶数である事象
とすると、
$P(A)=P(B)=\dfrac{1}{2},\:P(A\cap B)=\dfrac{1}{4}$ であり、
$P(A\cap B)=P(A)P(B)$ が成立するので、$A$ と $B$ は独立です。

2つの事象が独立でないとき、従属であると言います。

例えば、
$C$:小さいサイコロの目が4の倍数である事象
とすると、
$P(C)=\dfrac{1}{6}$、$P(B\cap C)=\dfrac{1}{6}$
であり、$P(B\cap C)\neq P(B)P(C)$ なので、$B$ と $C$ は従属です。

独立の直感的な意味

上の例で、$A$ と $B$ は違うサイコロに関する事象なので関係無さそうですが、$B$ と $C$ は同じサイコロに関する事象なので、関係ありそうですね。

そこで、関係ない2つの事象は独立で、関係ある2つの事象は従属と言うことができそうです。しかし、実はこの説明は、やや正しくないです。(→説明1)

正しい説明は以下の通りです。
2つの事象が独立であるというのは、片方の事象が起こるかどうか分かっても、もう片方の事象が起こる確率に影響を与えないことを意味します。(→説明2)

説明1:一見関係していても独立なことがある

2つの事象が関係ありそうでも、独立になることがあります。

例えば、サイコロを1つふって、
$A$:目が偶数である事象
$B$:目が3の倍数である事象
とすると、

$P(A)=\dfrac{1}{2}$、$P(B)=\dfrac{1}{3}$ で、
$P(A\cap B)$ は6の倍数になる確率なので、$\dfrac{1}{6}$ です。
つまり、$P(A\cap B)=P(A)P(B)$ が成立するので、$A$ と $B$ は独立です。
$A$ と $B$ は、同じサイコロに関する2つの事象で、一見関係がありそうですが、確率の意味では独立です。

説明2:「確率に影響を与えない」のが独立性

2つの事象が独立であるというのは、片方の事象が起こるかどうか分かっても、もう片方の事象が起こる確率に影響を与えないことを意味します。

先ほどの例だと「出目が3の倍数」ということが分かれば、出目は3または6に絞られますが、偶数かどうかの確率は $\dfrac{1}{2}$ のままです。つまり、3の倍数かどうか分かっても、偶数かどうかの確率に影響を与えません。

最後に、独立の定義式
$P(A\cap B)=P(A)P(B)$
から、上記の青文字の説明を導いてみます。

まず、条件付き確率の定義より、
$P(A\cap B)=P(A\mid B)P(B)$
です。

よって、$A$ と $B$ が独立なら
$P(A)=P(A\mid B)$
となります。

これは、
「$B$ が起こったもとで $A$ が起こる確率」は「$A$ が起こる確率」と等しい
ということを表しています。

つまり、$B$ が起こっても、$A$ が起こるかどうかには影響を与えない
片方の事象が起こるかどうか分かっても、もう片方の事象が起こる確率に影響を与えない
ということを意味しています。

(同様に、$P(B)=P(B\mid A)$ も分かります)

まとめ

確率における独立は、大雑把に言うと、片方がもう片方に「確率の意味で」影響を与えないことを表します。「全く関係ない」ことを表すわけではありません。

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前:サイコロ(1個、n個)の期待値、分散、標準偏差

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