確率における独立と従属の意味と例

確率における事象の独立、従属の意味を説明します。

独立と従属

例えば、大きいサイコロと小さいサイコロをふって、
$A$：大きいサイコロの目が偶数である事象
$B$：小さいサイコロの目が偶数である事象
とすると、
$P(A)=P(B)=\dfrac{1}{2},\:P(A\cap B)=\dfrac{1}{4}$ であり、
$P(A\cap B)=P(A)P(B)$ が成立するので、$A$ と $B$ は独立です。

例えば、
$C$：小さいサイコロの目が４の倍数である事象
とすると、
$P(C)=\dfrac{1}{6}$、$P(B\cap C)=\dfrac{1}{6}$
であり、$P(B\cap C)\neq P(B)P(C)$ なので、$B$ と $C$ は従属です。

独立の直感的な意味

そこで、関係ない２つの事象は独立で、関係ある２つの事象は従属と言うことができそうです。しかし、実はこの説明は、やや正しくないです。（→説明１）

正しい説明は以下の通りです。
２つの事象が独立であるというのは、片方の事象が起こるかどうか分かっても、もう片方の事象が起こる確率に影響を与えないことを意味します。（→説明２）

説明１：一見関係していても独立なことがある

例えば、サイコロを１つふって、
$A$：目が偶数である事象
$B$：目が３の倍数である事象
とすると、

$P(A)=\dfrac{1}{2}$、$P(B)=\dfrac{1}{3}$　で、
$P(A\cap B)$ は６の倍数になる確率なので、$\dfrac{1}{6}$ です。
つまり、$P(A\cap B)=P(A)P(B)$ が成立するので、$A$ と $B$ は独立です。
$A$ と $B$ は、同じサイコロに関する２つの事象で、一見関係がありそうですが、確率の意味では独立です。

説明２：「確率に影響を与えない」のが独立性

先ほどの例だと「出目が３の倍数」ということが分かれば、出目は３または６に絞られますが、偶数かどうかの確率は $\dfrac{1}{2}$ のままです。つまり、３の倍数かどうか分かっても、偶数かどうかの確率に影響を与えません。

最後に、独立の定義式
$P(A\cap B)=P(A)P(B)$
から、上記の青文字の説明を導いてみます。

まず、条件付き確率の定義より、
$P(A\cap B)=P(A\mid B)P(B)$
です。

よって、$A$ と $B$ が独立なら
$P(A)=P(A\mid B)$
となります。

これは、
「$B$ が起こったもとで $A$ が起こる確率」は「$A$ が起こる確率」と等しい
ということを表しています。

つまり、$B$ が起こっても、$A$ が起こるかどうかには影響を与えない
→片方の事象が起こるかどうか分かっても、もう片方の事象が起こる確率に影響を与えない
ということを意味しています。

（同様に、$P(B)=P(B\mid A)$ も分かります）

まとめ

確率における独立は、大雑把に言うと、片方がもう片方に「確率の意味で」影響を与えないことを表します。「全く関係ない」ことを表すわけではありません。

次回は 階乗の意味と値一覧など を解説します。