一次不等式の解き方(+簡単な問題、分数、3つの場合)

一次不等式のポイント
不等式の両辺に、
・同じ数を足したり引いたりできる(→例題1)
・同じ数(正の数)をかけたり割ったりできる(→例題2)
・同じ数(負の数)をかけたり割ったりすると不等号の向きが変わる(→例題3)

簡単な問題

例題1:一次不等式 $x+3\geq 6$ を解け。

解答

不等式の両辺に同じ数を足すことができます。
両辺に $-3$ をたすと、
$x+3+(-3)\geq 6+(-3)$
$x\geq 3$

例題2: 一次不等式 $4x+5 < 2x+1$ を解け。

解答

両辺に $-5$ をたす(移項する)と、
$4x+5+(-5) < 2x+1+(-5)$
$4x < 2x-4$
次に $-2x$ をたすと、
$2x < -4$
次に不等式の両辺に同じ数(正の数)をかけたりわったりすることができるので両辺を $2$ でわると、
$x < -2$

注意:不等号が $\geq,\leq,<,>$ のどれであってもやることはほとんど同じです。

マイナスをかけると向きが変わる

例題3:一次不等式 $-x+2\leq 2(x+4)$ を解け。

解答

まず右辺を展開すると、
$-x+2\leq 2x+8$
となります。次に移項すると、
$-x-2x\leq 8-2$
$-3x\leq 6$
となります。
次に不等式の両辺に同じ数(マイナスの数)をかけたりわったりすると不等号の向きが $\leq$ から $\geq$ に変わるので両辺を $-3$ でわると、
$x \geq -2$
となります。

分数の場合

例題4:$\dfrac{1}{2}x+1\leq \dfrac{1}{3}x-0.5$ を解け。

解答

分数や小数が入っている場合は(分母の最小公倍数などをかけることで)全て整数になおして考えましょう。
今回は両辺に $6$ をかけると、
$\dfrac{1}{2}x\times 6+1\times 6\leq\dfrac{1}{3}x\times 6-0.5\times 6$
$3x+6\leq 2x-3$
となります。移項すると、
$x\leq -9$
となります。

3つの場合

例題5:$3x-1\leq 2x+1\leq 3x$ を解け。

$3x-1\leq 2x+1$

$2x+1\leq 3x$
に分けて考えます。

1つめの不等式は移項すると、
$x \leq 2$
となります。

2つめの不等式も同様に、
$-x \leq -1$
となります。両辺に $-1$ をかけると不等号の向きが変わるので、
$x\geq 1$

となります。よって、$x\geq 1$ と $x\leq 2$ を両方満たす $x$ が答えなので、
$1\leq x\leq 2$
が答えとなります。

次回は 連立方程式の問題3問と答え を解説します。

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