因数定理とは，多項式 $P(x)$ が $(x-a)$ を因数に持つかどうかを，素早く確認するための定理です。
このページでは，因数定理について，
・因数定理とは何か？
・因数定理の証明は？
・因数定理を使って方程式を解くコツは？
といった疑問にお答えします。
因数定理とは
例えば，
$P(x)=x^2-3x+2$
に対して、
$P(1)=1^2-3+2=0$
となります。よって、因数定理により、$P(x)$ は $(x-1)$ を因数に持つことが分かります。実際 $P(x)$ を因数分解してみると、
$x^2-3x+2=(x-1)(x-2)$
となっており，$(x-1)$ を因数に持っています。
因数定理の証明
$P(a)=0$ ならば，$P(x)$ は $(x-a)$ を因数に持つ
を証明してみましょう。
多項式 $P(x)$ を、$(x-a)$ で割ったときの商を $Q(x)$、余りを $r$ とすると、
$P(x)=(x-a)Q(x)+r$
が成立します。
これに $x=a$ を代入すると、$P(a)=r$ となります。
よって，$P(a)=0$ のとき，$r=0$
つまり，$P(x)=(x-a)Q(x)$
となります。
以下、係数が整数である多項式 $P(x)$ を因数分解する方法について考えます。
因数定理の応用
因数定理により，$P(x)$ を因数分解したいときには、$P(a)=0$ となるような $a$ を探せばよい、ということが分かりました。では、そのような $a$ はどうやって探すのでしょうか？
実は（最高次の係数が $1$ で、定数項が $0$ でないとき）
になることが知られています。
例題：$P(x)=x^3-3x^2-x+3$ を因数分解してみましょう。
解答：
$P(a)=0$ となる $a$ を探しましょう。この場合、定数項は $3$ なので、その約数である $1,-1,3,-3$ が $a$ の候補になります（マイナスも考えます！）。
まずは、$1$ を試してみます。
$P(1)=1-3-1+3=0$
になってくれました！
よって、因数定理により，$P(x)$ は $(x-1)$ でわりきれます。実際にわり算を実行すると、
$P(x)=(x-1)(x^2-2x-3)$
となります。二次式の部分はさらに因数分解できて、
$P(x)=(x-1)(x-3)(x+1)$
となります。
因数の見つけ方（発展）
最高次の係数が $1$ でないときには、以下の公式を使います：
定数項の約数÷最高次の係数の約数
ただし、定数項が $0$ の場合は因数分解は簡単なので、$0$ でないものとします。
例題２：$P(x)=6x^3+5x^2-2x-1$ を因数分解してみましょう。
解答：
$P(a)=0$ となる $a$ を探しましょう。この場合、
・最高次の係数の正の約数は $1,2,3,6$ の４つ
・定数項の正の約数は $1$ のみ
です。よって、$a$ の候補は（プラスマイナスをつけて）
$\pm 1,\pm\dfrac{1}{2},\pm\dfrac{1}{3},\pm\dfrac{1}{6}$
の８つになります。
細かい計算は省略しますが、当たりは $x=-1,\dfrac{1}{2},-\dfrac{1}{3}$ の３つで、
答えは、$(x+1)(2x-1)(3x+1)$
となります。
次回は 定義域、値域、変域の意味と求め方 を解説します。
