因数定理の意味と因数の見つけ方

多項式 $P(x)$ が $(x-a)$ を因数に持つ
$\iff P(a)=0$

因数定理とは

多項式 $P(x)$ を、$(x-a)$ で割ったときの商を $Q(x)$、余りを $r$ とすると、
$P(x)=(x-a)Q(x)+r$
が成立します。

これに $x=a$ を代入すると、$P(a)=r$ となります。よって、

多項式 $P(x)$ が $(x-a)$ を因数に持つ
$\iff r=0$
$\iff P(a)=0$

が成り立つことが分かります。これを因数定理と言います。

例:
$P(x)=x^2-3x+2$
に対して、$P(1)=1^2-3+2=0$ となります。よって、因数定理により、$P(x)$ は $(x-1)$ を因数に持つことが分かります。実際 $P(x)$ を因数分解してみると、
$x^2-3x+2=(x-1)(x-2)$
となっています。

以下、係数が整数である多項式 $P(x)$ を因数分解する方法について考えます。

因数の見つけ方

$P(x)$ を因数分解したいときには、$P(a)=0$ となるような $a$ を探せばよい、ということが分かりました。では、そのような $a$ はどうやって探すのでしょうか?

実は(最高次の係数が $1$ で、定数項が $0$ でないとき)

$P(a)=0$ となる $a$ は定数項の約数

になることが知られています。

例題:$P(x)=x^3-3x^2-x+3$ を因数分解してみましょう。

解答

$P(a)=0$ となる $a$ を探しましょう。この場合、定数項は $3$ なので、その約数である $1,-1,3,-3$ が $a$ の候補になります(マイナスも考えます!)。

まずは、$1$ を試してみます。
$P(1)=1-3-1+3=0$
になってくれました!

よって、$P(x)$ は $(x-1)$ でわりきれます。実際にわり算を実行すると、
$P(x)=(x-1)(x^2-2x-3)$
となります。二次式の部分はさらに因数分解できて、
$P(x)=(x-1)(x-3)(x+1)$
となります。

この問題では、4つの候補 $1,-1,3,-3$ のうち、3つの候補 $1,-1,3$ が当たりで、$-3$ だけがハズレでした。比較的簡単な問題です。

因数の見つけ方(発展)

最高次の係数が $1$ でないときには、以下の公式を使います:

$P(a)=0$ となる $a$ は
最高次の係数の約数÷定数項の約数

ただし、定数項が $0$ の場合は因数分解は簡単なので、$0$ でないものとします。

例題2:$P(x)=6x^3+5x^2-2x-1$ を因数分解してみましょう。

解答

$P(a)=0$ となる $a$ を探しましょう。この場合、
・最高次の係数の正の約数は $1,2,3,6$ の4つ
・定数項の正の約数は $1$ のみ
です。よって、$a$ の候補は(プラスマイナスをつけて)
$\pm 1,\pm\dfrac{1}{2},\pm\dfrac{1}{3},\pm\dfrac{1}{6}$
の8つになります。

細かい計算は省略しますが、当たりは $x=-1,\dfrac{1}{2},-\dfrac{1}{3}$ の3つで、
答えは、$(x+1)(2x-1)(3x+1)$
となります。

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